Dazu existiert ein inverser Effekt: Bei der Abbremsung von Elektronen an einer Metalloberfläche wird elektromagnetische Strahlung emittiert. Auf diesen inversen Photoeffekt der durch Bremsstrahlung hervorgerufen wird, gehen wir in diesem Kapitel ein. Zuerst betrachten wir die Erzeugung von Bremsstrahlung klassisch. Anschliessend wenden wir uns der Erzeugung und Charakterisierung von Röntgen-Strahlung zu. Aufbauend auf der Messung des Röntgen-Spektrums erfolgt eine quantenmechanische Interpretation der Bremsstrahlung. Show Wir untersuchen als erstes die Bremsstrahlung, d.h. die Emission von elektromagnetischer Strahlung beim Abbremsen von Elektronen an einer Metalloberfläche, an einem einfachen klassischen Modell (siehe Abb. 3.1): Eine negativ geladene Ladung  Abb. 3.1: Der Hertzsche Dipol als klassisches Modell für die Bremsstrahlung: Eine negative Ladung Die vom Dipol unter dem Winkel Wegen der endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit Der Bremsvorgang wird im Allgemeinen sehr kompliziert sein. Das Elektron kann viele Zusammenstösse erleiden, bis es seinen Platz im Metall gefunden hat, sei es in einem Atom oder im Elektronengas. Als Extremfall könnte man sich klassisch folgenden Einzelprozess vorstellen, bei dem das Elektron seine ganze kinetische Energie in Strahlung umwandelt (siehe Abb. 3.2): Das einfallende Elektron dringt in die Elektronenwolke eines (neutralen) Atoms ein und wird durch das im Innern herrschende elektrische Feld umgelenkt. Wegen der Beschleunigung bzw. Verzögerung, die es dabei erfährt, strahlt es eine elektromagnetische Welle ab und verliert dadurch kinetische Energie. Im Grenzfall könnte es am Rande des Atoms zum Stillstand kommen. Abb. 3.2: Schematische Darstellung des Bremsvorgangs: Ein Elektron dringt in die Elektronenwolke eines Atoms ein und wird dabei abgebremst. Wir führen hier die aufwendige Rechnung nicht durch, sondern nur eine qualitative Betrachtung über die Form des Frequenzspektrums der emittierten Strahlung geben. Wir betrachten einfachheitshalber den Bremsvorgang des Elektrons in einer Dimension. In Abb. 3.3 ist diese Bewegung in einem Geschwindigkeits-Weg- und in einem Beschleunigungs-Weg-Diagramm dargestellt: Das Elektron befindet sich zuerst in einem freien Flug und wird anschliessend in einem Atom oder im Elektronengas eines Metalls gebremst. Die Stärke des elektrischen und magnetischen Feldes in der Wellenzone ist proportional zu Abb. 3.3: (a) Darstellung des Bremsvorgangs in einem Geschwindigkeits-Weg-Diagramm und (b) in einem Be-schleunigungs-Weg-Diagramm. Um eine Idee zu gewinnen, wie das Spektrum etwa aussehen könnte, nehmen wir an, dass der zeitliche Verlauf - Die Fourier-Transformierte ist dann wieder eine Glockenkurve Wesentlich ist hier, dass sich das Spektrum bis zu beliebig hohen Frequenzen erstreckt und das Amplitudenmaximum bei Abb. 3.4: (a) Glockenkurve als Modell für den Bremsvorgang. (b) Frequenzspektrum der Bremsstrahlung (Fourier-Transformierte). An diesem sehr vereinfachten klassischen Modell ist noch eine wesentliche Korrektur anzubringen: Beim Bremsprozess dringen die Elektronen eine sehr kleine Strecke in das Metall ein, so dass ein Teil der emittierten Bremsstrahlung in diesem absorbiert wird. Die niederfrequente Strahlung wird dabei viel stärker absorbiert als die hochfrequente Strahlung. Dieser Effekt bewirkt eine bedeutende Veränderung der Form des klassisch erwarteten Spektrums auf der niederfrequenten Seite (siehe Abb. 3.5). Abb. 3.5: Klassisches Frequenzspektrum der Bremsstrahlung mit und ohne Berücksichtigung der Absorption im Metall. 3.2.1 Funktionsweise einer Röntgen-RöhreEine Röntgen-Röhre (siehe Abb. 3.6) besteht aus einem in einem Vakuumbehälter installierten thermischen Elektronenemitter dessen Elektronen auf hohe Energien beschleunigt werden und dann auf eine Anode treffen. Wir gehen nun auf einige wichtige Aspekte bei der Erzeugung von Röntgen-Strahlung ein. Abb. 3.6: Der schematische Aufbau einer Röntgen-Röhre. Auf die einzelnen Bestandteile wird im Text eingegangen. (1) In einem ersten Schritt werden freie Elektronen mittels des thermoelektrischen Effekts (siehe Abschnitt 3.3) erzeugt. Dazu wird ein Filament elektrisch erhitzt indem es an eine Stromquelle angeschlossen wird. Erreicht das Filament eine ausreichend hohe Temperatur, so können einzelne Elektronen die Austrittsarbeit überwinden und das Filament verlassen. (2) Anschliessend werden die Elektronen stark beschleunigt indem sie einen Feldgradienten durchlaufen, der durch eine Spannung der Grössenordnung In der Röntgen-Röhre wird der thermoelektrische Effekt eingesetzt um freie Elektronen zu erzeugen. Dieser Prozess löst, ähnlich dem Photoeffekt, Elektronen aus einem Metall aus. Beim thermoelektrischen Effekt wird die nötige Energie durch thermische Anregung anstatt durch Bestrahlung mit elektromagnetischer Strahlung bereitgestellt. Dieser Effekt wird z.B. auch in analogen Oszilloskopen, in den früher üblichen Röhrenfernsehern und in Elektronenmikroskopen zum Einsatz gebracht. Die thermische Anregung der Elektronen erfolgt folgendermassen: Durch das Metall fliesst ein Strom. Infolgedessen führt der elektrische Widerstand zum Aufheizen des Metalls und der in ihm befindlichen Elektronen bis ein thermisches Gleichgewicht eintritt. Für die Elektronen bei den höchsten Energien wird es dann möglich die Austrittsarbeit Zur Veranschaulichung betrachten wir den Effekt in einem Energiediagramm (siehe Abb. 3.7). Wir führen dazu die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion wobei Mit anderen Worten: Bei Wird jedoch die Temperatur erhöht, so verformt sich die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion und es wird für die Elektronen durch thermische Anregung möglich, Zustände oberhalb des Fermi-Niveaus einzunehmen. Wird nun die Temperatur so stark erhöht, dass Abb. 3.7: Der thermoelektrische Effekt dargestellt im Energiediagramm: Bei In diesem Abschnitt untersuchen wir das Spektrum einer Röntgen-Röhre, deren Funktionsweise wir bereits kennengelernt haben (siehe Abschnitt 3.2), anhand verschiedener Messmethoden. 3.4.1 Wellenlängenmessungen mit künstlichen GitternIm sichtbaren Bereich elektromagnetischer Strahlung, d.h. für Wellenlängen Röntgen-Strahlung hat eine Wellenlänge Aufgrund der vorangegangen Betrachtungen gilt für die Röntgen-Strahlung: Abb. 3.8: Beugung von Röntgen-Strahlung am künstlichen Gitter mit Gitterkonstante Eine Möglichkeit ist Interferenz bei streifendem Einfall zu betrachten, d.h. wenn die Strahlung unter kleinem Winkel zur Oberfläche des Gitters einfällt (siehe Abb. 3.9). Abb. 3.9: Trick des streifenden Einfalls: Spektrale Zerlegung von Strahlung mit Hilfe eines Reflexionsgitters. Mit Hilfe eines Reflexionsgitters lässt sich damit Strahlung spektral zerlegen, auch dann, wenn die Gitterkonstante Daraus ergibt sich die folgende Bedingung für die Beugungsmaxima bei streifendem Einfall Im Gegensatz zum Fall eines Gitters bei normalem Einfall der Strahlung ist der Beugungswinkel im wesentlichen proportional zu 3.4.2 Bragg-ReflexionAnstelle von künstlich hergestellten Gittern kann man aber auch natürlich vorkommende periodische Strukturen, wie z.B. Kristallgitter verwenden. Bei natürlichen Kristallgittern sind typische Gitterkonstanten von der Grössenordnung von einigen Å , welche im Wellenlängenbereich der Röntgen-Strahlung liegen. Diese eignen sich daher bestens für die Beugung und damit Wellenlängenmessung von Röntgen-Strahlung. Allerdings handelt es sich hier nicht um zweidimensionale Strichgitter, sondern um sogenannte Raumgitter. Wir werden hier nur eine vereinfachte Theorie der Raumgitterinterferenz diskutieren und verweisen für weitere Ausführungen auf die Festkörperphysik. Abb. 3.10: Bragg-Reflexion am einfach kubischen Kristall. Auf die Bezeichnungen wird im Text eingegangen.
Dies sind die Bedingungen für Bragg-Reflexion an einer Schar von Netz-ebenen (im Beispiel sind sie senkrecht zur y-Achse), deren Abstand Diese Methode eignet sich, wie erwähnt, für die Bestimmung der Wellenlänge NetzebenenMan kann Atome in einem Gitter auf viele Weisen zu Netzebenen zusammenfassen. Den einfachsten Fall haben wir in der Beschreibung der Bragg-Reflexion nach Abb. 3.10 kennengelernt. In Abb. 3.11 ist nun eine weitere Möglichkeit skizziert, wie die Atome in einem einfach kubischen Gitter zu Netzebenen zusammengefasst werden können. In die Bragg-Bedingung (3.11) ist dann anstelle von Abb. 3.11: Beispiel zu Netz-ebenen im einfach kubischen Gitter. Als Braggsche Netzebenen betrachten wir die eingezeichneten Diagonalebenen des kubischen Gitters. Konstruktive Interferenz der Streuwellen, d.h. ein Beugungsmaximum, tritt auf, wenn gleichzeitig folgende zwei Bedingungen er-füllt sind: Analog zur Bragg-Reflexion nach Abb. 3.10 muss auch hier der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel sein Ebenfalls muss der Wegunterschied zweier Strahlen, welche an zwei benachbarten parallelen Ebenen reflektiert werden, einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge Daraus ergibt sich Mit Die Bragg-Bedingung lautet somit d.h. wir erhalten wie behauptet die Bragg-Bedingung (3.11), wo anstelle von Bragg-Reflexion mit MikrowellenDas Phänomen der Bragg-Reflexion lässt sich statt mit Röntgen-Strahlung an einem natürlichen Kristall mit Netzebenenabstand von einigen Å anschaulicher mit Mikrowellenstrahlung an einem künstlichen Kristall mit einigen cm Netzebenenabstand demonstrieren (siehe Abb. 3.12). Eingebettet in Schaumstoff, der die Mikrowellen nicht streut, sind Abb. 3.12: Demonstration der Bragg-Reflexion mit Mikrowellen. Auf die einzelnen Bestandteile des Versuchaufbaus wird im Text eingegangen. Die skizzierte Stellung von Sender, Kristallmodell und Empfänger entspricht der Bragg-Bedingung für Auch die Bragg-Reflexion an den Diagonalebenen des kubischen Gitters lässt sich in diesem Modell demonstrieren Wir betrachten nun die Messung des Spektrums einer Röntgen-Röhre. Zur Messung dient ein sogenanntes Bragg-Spektrometer (siehe Abb. 3.13). Aus dem Strahlungsfeld einer Röntgen-Röhre mit Molybdän-Anode wird durch zwei Spalte ein annähernd paralleles Strahlenbündel ausgeblendet und an einem NaCl-Kristall (einfach kubisches Gitter mit Abb. 3.13: Bragg-Spektrometer: Experimenteller Aufbau zur Bestimmung des Spektrums einer Röntgen-Röhre. Auf die einzelnen Bestandteile des Versuchaufbaus wird im Text eingegangen. Zur Aufnahme des Intensitätsspektrums der Röntgen-Röhre wird der Kristall langsam gedreht. Die Bewegung des Geigerzählers ist mit derjenigen des Kristalls so gekoppelt, dass die erste Bragg-Bedingung immer erfüllt ist. Bei gleichzeitiger Erfüllung der zweiten Bragg-Bedingung wird die Intensität der an der Schar der Netzebenen mit dem Abstand Abb. 3.14 zeigt die Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion des Reflexionswinkels für verschiedene Beschleunigungsspannungen (20, 30 und 50 kV), wie sie mit dem Aufbau aus Abb. 3.13 gemessen wird. Abb. 3.14: Das Spektrum einer Röntgen-Röhre: Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion des Reflexionswinkels für Beschleunigungsspannungen von 20, 30 und 50 kV. Bei Wenn die kürzeste Wellenlänge Abb. 3.15: Das Spektrum einer Röntgen-Röhre: Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion der Wellenlänge für eine Beschleunigungsspannung von 50 kV mit der Zerlegung in die Ordnungen Die experimentellen Spektren brechen bei einer Grenzfrequenz Trägt man die Beschleunigungsspannung wobei die Steigung wie beim Photoeffekt durch das Plancksche Wirkungsquantum Abb. 3.16: Die Beschleunigungsspannung Die Interpretation der Gleichung ist folgende:
Das Bremsstrahlungsexperiment zeigt also in Übereinstimmung mit dem Photoeffekt, dass die Energie eines Lichtquants Das sich an die Grenzfrequenz anschliessende kontinuierliche Spektrum ist andererseits ein Indiz dafür, dass im Allgemeinen nur ein Bruchteil der kinetischen Energie zur Erzeugung des Photons dient und dass dieser beliebig sein kann. Dies ist auch plausibel aus der klassischen Betrachtung (siehe Abschnitt 3.1). Tatsächlich liefert die klassische Theorie eine gute Approximation für den langwelligen Teil des Bremsspektrums, wenn man die Absorption der Strahlung im Anodenmaterial als bekannt voraussetzt. Wir haben gesehen, das dem kontinuierlichen Spektrum der Röntgen-Röhre (siehe Abb. 3.15) Spektrallinien überlagert sind. Dieses Linienspektrum ist für das verwendete Anodenmaterial charakteristisch und lässt sich akkurat nur unter Betrachtung der quantenmechanischen Eigenschaften der Atome des Anodenmaterials verstehen. Welche Energie und Geschwindigkeit haben die schnellsten photoelektronen?Die Frage, bei der ich Probleme habe, verlangt Energie und Geschwindigkeit der schnellsten Photoelektronen bei mit UV bestrahltem Natrium (lambda 100). Es kommt immer -2.28 heraus.
Was passiert beim photoelektrischen Effekt?Unter dem photoelektrischen Effekt oder kurz Photoeffekt versteht man die Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung (z. B. sichtbares Licht, Infrarot- und UV-Strahlung) und Materie. Beobachtet wurde dieser Effekt erstmals von Heinrich Hertz 1886, erklären konnte ihn jedoch erst Albert Einstein 1905.
Was beweist der photoelektrische Effekt?Der Photoeffekt zeigt, dass Licht ebenfalls Teilchencharakter aufweist, nämlich, dass die Energie elektromagnetischer Strahlung quantisiert ist.
Warum tritt bei großen Wellenlängen kein Photoeffekt auf?Zu den größeren Wellenlängen gehören geringere Photonenenergien, da gilt E P h = h ⋅ f = h ⋅ c λ Ist die Photonenenergie kleiner als die Ablösearbeit W A des bestrahlten Materials, so können nach der Energiebilanz beim äußeren Fotoeffekt E P h = W A + E k i n keine Photoelektronen ausgelöst werden.
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