DeterminanteMatrizenrechnungBasiswissenFür jede quadratische Matrix kann man eine bestimmte Zahl berechnen, die sogenannte Determinante. Ist die Determininate ungleich 0, dann ist das lineare Gleichungssystem, für das die Matrix steht, lösbar und die Matrix ist auch invertierbar. Das wird hier kurz erklärt. Definition für eine quadratische Matrix◦ Jeder quadratischen Matrix kann man eine Determinante zuordnen. ◦ Determinanten kann man nur quadratischen Matrizen zuordnen. ◦ Die Determinante ist ein skalarer Zahlen, zum Beispiel 3. ◦ Es gibt feste Rechenregeln sie zu berechnen. ◦ Um solche Determinanten geht es hier. Für nicht-quadratische Matrix◦ In der Schulmathematik gibt es Determinanten nur für quadratische Matrizen. ◦ In der höheren Mathematik gibt es Determinanten auch für nicht-quadrtatische Matrizen. ◦ Sie sind aber anders definiert als die "normalen Determinanten". ◦ Die Definitionen sind auch nicht einheitlich. ◦ Stichworte für Recherchen dazu sind: ◦ Moore-Penrose Determinante ◦ Pseudodeterminante Bedeutung für LGS◦ Bei quadratischen Matrizen gilt: ◦ Determinante ungleich 0, dann eindeutig lösbar. ◦ Mehr unter => Lösbarkeit eines LGS Bedeutung für Invertierbarkeit◦ Quadratische Matrizen kann man invertieren. ◦ Es geht aber nur, wenn die Determinante nicht 0 ist. ◦ Ist die Determinate gleich 0, ist die Matrix nicht invertierbar. ◦ Mehr unter => inverse Matrix berechnen
Show
Neues Stichwort suchen:© Lernwerkstatt Aachen GbR, 2010-2022 Impressum & Kontakt die Determinante ist alternierend (5)die Determinante ist Null, falls ein Spaltenvektor der Nullvektor ist (6)der Wert der Determinante �ndert sich nicht, wenn zu einer Spalte das Vielfache einer anderen Spalte addiert wird (7)die Spaltenvektoren vonsind genau dann linear abh�ngig, falls (8)die Matrixist genau dann invertierbar, falls (9)die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente (10)beim Transponieren �ndert sich der Wert der Determinante nicht, d.h. die Aussagen �ber Spalten gelten analog f�r Zeilen (11)die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten (12)die Determinante der inversen Matrix ist gleich dem Kehrwert der Determinante Die Determinante einer Matrix ${A}$ ($\det({A})$ oder $|{A}|$) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix $A$ abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.
\begin{align} Hier nochmal ein Grundlagenvideo zur Determinante Dieses Video auf YouTube ansehen Rechenregeln zu DeterminantenMatrix A ist quadratisch ($\textbf{A}\in\mathbb{R}^{n x n}$). Daher gelten die folgenden Rechengesetze: Wenn $\text{det}(\textbf{A})=a$ ist, dann gilt:
„…zu einer anderen Zeile (Spalte)“‚. Diese Zeile (Spalte) müssen wir bei der veränderten Matrix verändern und nicht die Zeile (Spalte), von der wir ein Vielfaches für die Rechnung genommen haben! ..mit $\widetilde{\textbf{A}}$ als Matrix $\textbf{A}$ nach der jeweiligen Manipulation Beispiel Zu 2) Zweite und dritte Spalte getauscht. Zu 3) $3\cdot\text{„dritte Zeile“}-\text{„erste Zeile“}\Rightarrow$ wird neue erste Zeile Berechnung von DeterminantenDas allgemeine Verfahren zum Berechnen von Determinanten einer $n$ x $n$-Matrix ist der Laplace’sche Entwicklungssatz. Speziell für eine 3 x 3-Matrix gibt es die Regel von Sarrus und das Rechenschema für eine 2 x 2-Matrix solltest du dir auch abseits des Entwicklungssatzes merken. 1 x 1 Matrix Determinante einer 1 x 1 Matrix entspricht ihrem einzigen Element. 2 x 2 Matrix 3 x 3 Matrix – Regel von Sarrus n x n Matrix – Laplace’scher Entwicklungssatz (allgemeines Verfahren) Was bedeuten die Formeln bzw. wie sind diese zu lesen?
\left(\begin{matrix} % 4x4 -4 & 0 & \pmb{-1} & -1 \\ 2 & 2 & \pmb{0} & 2 \\ -2 & 3 & \pmb{1} & -5 \\ -1 & 1 & \pmb{0} & -2 \end{matrix}\right) $
\stackrel{\phantom{Sarrus}}{=}-(2)+(20)=18$ Anwendung von DeterminantenWozu sollten wir Determinanten berechnen? Es ist ein „mathematisches Werkzeug“, mit dem wir einfach überprüfen können, ob:
Kluges Vorgehen: Wenn $f_A$ ein Isomorphismus ist, ist es auch ein Automorphismus ($f_A$ ist schon ein Endomorphismus, da von $\mathbb{R}^3$ nach $\mathbb{R}^3$ abgebildet wird). Wenn dem so ist, existiert ${A}^{-1}$ und damit muss det(A)=0 sein. det(A) berechnen: In Matrix A ist kein Eintrag 0. Wir können aber z.B. Zeile $3\cdot(-1)$ nehmen und auf die erste Zeile addieren. So ändert sich die Determinante nicht, Element $a_{12}$ wird Null und wir haben Rechenschritte gespart (Kein Muss!). Danach Entwicklung nach 2. Spalte: \begin{align*} Nun det(A)=0 setzen, um die $a$ zu berechnen, die nachher ausgeschlossen werden müssen! det(A) ist ein Polynom dritten Grades. Wenn eine „schöne“ Lösung für $a$ existiert ($a\in\mathbb{Z}$), dann ist diese Teiler vom Absolutglied (-12). Also $a\in\left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$. Durch ausprobieren (Empfehlung: Funktionswert durch Horner-Schema ausrechnen) finden wir $a=3$ als eine Lösung. Polynom durch Horner-Schema auftrennen: Was sagt uns die Determinante?Die Determinante einer Matrix ( oder ) gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte.
Wann ist Determinante ungleich Null?Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
Was ist wenn det 0?Determinanten sagen dir, ob Matrizen invertierbar sind. Du kannst dir merken, dass deine Matrix nicht invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Andersrum gilt das Gleiche: Ist deine Matrix nicht invertierbar, so ist ihre Determinante Null.
Wann bleibt die Determinante gleich?Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn die Elemente einer Zeile mit einem beliebigen Faktor multipliziert und das Ergebnis zu den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile addiert.
|