Was bedeuten gerade beträge

Stell Dir vor, Du fährst Fahrstuhl. Du kannst zum Beispiel vom Erdgeschoss (Stockwerk 0) in den zweiten Stock fahren. Dann ist der Fahrstuhl zwei Stockwerke gefahren. Du kannst aber auch mit dem Fahrstuhl in den Keller fahren, zum Beispiel ins Stockwerk –2. Auch dann ist der Fahrstuhl zwei Stockwerke gefahren. Er fährt also sowohl von der 0 zur 2 als auch von der 0 zur –2 genau zwei Stockwerke. Ist das nicht merkwürdig? Müsste der Fahrstuhl nicht –2 Stockwerke fahren, wenn er in den Keller fährt?

Nein, es geht darum, wie weit sich der Fahrstuhl von seiner Startposition wegbewegt. Die Richtung dabei ist egal.

Der mathematische Hintergrund hierfür ist die Betragsfunktion.

Grundlagen für die Betragsfunktion: Betrag einer Zahl

Der Betrag einer Zahl gibt Dir an, wie weit die Zahl vom der 0 entfernt ist.

Für eine Zahl a ist der Betrag der Zahl

Wenn eine Zahl positiv ist, ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst. Ist die Zahl hingegen negativ, drehst Du für den Betrag der Zahl das Vorzeichen um.

Für positive Zahlen gilt zum Beispiel:

Ist die Zahl selbst negativ, so ist der Betrag der Zahl trotzdem positiv.

Die Zahl zum Beispiel ist 401 Schritte auf dem Zahlenstrahl von der 0 entfernt. Deswegen ist ihr Betrag 401. In welche Richtung die Schritte gegangen werden, ist für den Betrag nicht wichtig.

Den Betrag einer Zahl kannst Du auch als Funktion definieren.

Betragsfunktionen – Definition & Erklärung

Durch eine Funktion wird einem x-Wert sein Funktionswert zugeordnet. Bei der Betragsfunktion wird jedem x-Wert sein Betrag zugeordnet.

Die Funktionheißt Betragsfunktion. Es ist:

Die Definitionsmenge der Betragsfunktion ist. Die Wertemenge der Betragsfunktion ist.

Definitionsmengebedeutet, dass die Betragsfunktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Du kannst also jede Zahl, die Du kennst, in die Betragsfunktion einsetzen.

Die Wertemenge einer Funktion beschreibt den Zahlenbereich, in dem alle Funktionswerte liegen. Die Funktionswerte der Betragsfunktion sind immer positiv, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Deswegen ist die Wertemenge der Betragsfunktion nur alle positiven reellen Zahlen.

Wenn Du einen x-Wert in die Betragsfunktion einsetzt, kannst Du den Betrag des x-Wertes berechnen. Der Funktionswert ist der Betrag.

Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion. Das bedeutet, dass sie sich aus mehreren Funktionen zusammensetzt, die alle nur für bestimmte x-Werte definiert sind.

Graph der Betragsfunktion

Der Graph der Betragsfunktionbesteht aus zwei Halbgeraden. In Abbildung 1 kannst Du erkennen, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Er entsteht aus dem Graphen der Funktion, indem der Teil des Graphes, der im negativen x-Wert-Bereich verläuft, an der x-Achse gespiegelt wird. In Abbildung 2 siehst Du sowohl den Graphen der Funktionals auch den Graphen der Betragsfunktion. Dort kannst Du die Spiegelung erkennen.

Der Graph einer Betragsfunktion verläuft nie unterhalb der x-Achse, da alle Funktionswerte positiv sind.

Betragsfunktion Rechenregeln

Für das Rechnen mit Beträgen gibt es einige Rechenregeln. Diese lassen sich auch auf die Betragsfunktion übertragen.

Für die Betragsfunktiongilt:

Der Bruchstrich in der dritten Rechenregel steht für eine Division. Die Rechenregel gilt also auch, wenn kein Bruchstrich vorhanden ist, sondern ein Divisionszeichen.

bedeutet, dass ein x-Wert denselben Funktionswert hat wie der negative x-Wert.

Die beiden anderen Rechenregeln besagen, dass das Ergebnis dasselbe ist, egal ob Du entweder zuerst multiplizierst oder dividierst und dann den Betrag nimmst oder zuerst die Beträge der Zahlen nimmst und diese dann multiplizierst oder dividierst.

Ein Beispiel für die erste Rechenregel ist:

Für die zweite Rechenregel kannst Du folgendes Beispiel verwenden.

Und in diesem Beispiel findest Du die dritte Rechenregel:

Aber Achtung. Diese Rechenregeln gelten nur für die Betragsfunktion. Du kannst die Betragsfunktion auch verändern, indem Du sie zum Beispiel verschiebst. Dann gelten diese Rechenregeln aber nicht mehr.

Betragsfunktionen verschieben

Wie bei anderen Funktionen kannst Du den Graphen einer Betragsfunktion durch Parameter verändern.

Betragsfunktion in x-Richtung verschieben

Du kannst die Betragsfunktion in x-Richtung nach links oder rechts verschieben.

Die Funktionsgleichung einer Betragsfunktion f, die nach links oder rechts verschoben ist, lautet:

Hier denkst Du gewissermaßen andersherum. Wenn Du den Graphen um a Einheiten nach rechts verschiebst, also in positive x-Richtung, ist die Funktionsgleichung. Verschiebst Du den Graphen aber um a Einheiten nach links, also in negative x-Richtung ist, ist die Funktionsgleichung.

Der Graph der Betragsfunktion soll um drei Einheiten nach rechts verschoben werden. Es ist also.

Die Funktionsgleichung lautet, da Du in die ursprüngliche Funktionsgleichungden Werteingesetzt hast.

Den Graphen der Funktionfindest Du in Abbildung 3. Dort kannst Du erkennen, dass der gesamte Graph drei Einheiten nach rechts verschoben ist.

Merke Dir also: Wenn Du den Graphen in positive x-Richtung verschiebst, steht in der Funktionsgleichung ein Minuszeichen.

Du kannst aber auch ins Negative verschieben.

Wenn Du den Graphen der Betragsfunktion zum Beispiel um drei Einheiten nach links verschiebst, ist. Dies kannst Du in die Funktionsgleichung einsetzen und erhältst:

Dadurch, dass Dugerechnet hast, entsteht ein Pluszeichen.

In Abbildung 4 kannst Du erkennen, dass der Graph der Funktiontatsächlich drei Einheiten nach links verschoben ist.

Zusammengefasst bedeutet dies: Steht ein Plus- oder Minuszeichen in den Betragsstrichen einer Betragsfunktion, so ist der Graph der Funktion nach links oder rechts verschoben.

Betragsfunktion in y-Richtung verschieben

Der Graph einer Betragsfunktion kann aber auch in y-Richtung nach oben oder unten verschoben werden.

Dann steht die Addition oder Subtraktion außerhalb der Betragsstriche.

Die Funktionsgleichung einer Betragsfunktion f, die nach oben oder unten in y-Richtung verschoben ist, lautet:

Da in der allgemeinen Funktionsgleichung kein Minuszeichen steht, bedeutet ein Pluszeichen vor dem b, dass ins Positive (nach oben) verschoben wurde und ein Minus, dass ins Negative (nach unten) verschoben wurde. Hier brauchst Du daher nicht umzudenken.

Die Betragsfunktion wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Die Funktionsgleichung lautet:

Der Graph dieser Funktion ist in Abbildung 5 dargestellt.

Du kannst die Betragsfunktion aber beispielsweise auch um drei Einheiten nach unten verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung:

Den Graphen dieser Funktion findest Du in Abbildung 6.

Du kannst in der Abbildung 6 erkennen, dass der Graph der Funktionzum Teil im negativen x-Bereich verläuft, obwohl g eine Betragsfunktion ist. Dies liegt daran, dass der Graph nach unten verschoben wurde.

Du kannst die Funktion auch sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung für eine Funktion f:

a ist der Parameter für die Verschiebung in x-Richtung, b für die Verschiebung in y-Richtung.

Betragsfunktion auflösen – Fallunterscheidung

Häufig ist es hilfreich, eine Betragsfunktion ohne Betragsstriche zu schreiben. Fürist die betragsstrichfreie Darstellung:

Wenn Du eine Betragsfunktion auflösen möchtest, benötigst Du in den allermeisten Fällen eine Fallunterscheidung.

Du unterscheidest zwischen den x-Werten, für die die Funktionswerte ohne Betragsstriche positiv sind, und den x-Werten, für die die Funktionswerte ohne Betragsstriche negativ sind.

Wenn unter dem Größerzeichen oder unter dem Kleinerzeichen ein Strich steht, bedeutet dies, dass auch Gleichheit gelten kann.

ist daher das Zeichen für größer oder gleich. Du kannst es als größergleich aussprechen.

Für die Funktionist die Fallunterscheidung bereitsund. Stell Dir vor, Du lässt die Betragsstriche weg. Dann hättest Du die Funktion. Die Funktionswerte von g sind positiv, wenn x größer oder gleich 0 ist. Wenn x kleiner als 0 ist, sind die Funktionswertenegativ.

Um eine Fallunterscheidung durchzuführen, suchst Du also die Stellen, an denen die Funktionswerte für die Funktion ohne Betragsstriche vom Positiven ins Negative wechseln oder umgekehrt.

Den Funktionswert der Betragsfunktion kannst Du dann so berechnen:

Nimm die Funktion ohne Betragsstriche, wenn der Funktionswert für das eingesetzte x positiv ist und dreh das Vorzeichen um, wenn die Funktionswerte ohne Betragsstriche für das eingesetzte x negativ wären.

Die Funktionsoll aufgelöst werden. Du gibst jetzt also an, was passieren soll, wenn die Funktionswerte ohne Betragsstriche größer oder gleich bzw. kleiner als 0 sind.

Du hast aber noch nicht ganz genau angegeben, für welche x-Werte die Funktionswerte nun positiv oder negativ wären. Deswegen löst Du nun die Ungleichungen auf:

Die Funktionswerte sind also positiv, wennist.

Fürwären die Funktionswerte negativ. Deswegen wird hier das Vorzeichen des Funktionswertes umgedreht.

Schließlich erhältst Du so folgende Definition der Funktion:

ist eine Ungleichung. Es ist keine Gleichung, da der Ausdruck kein Gleichheitszeichen enthält.

Wenn die gesamte Betragsfunktion in Betragsstrichen steht, kannst Du Dir merken, dass Du die Betragsstriche weglässt und eine Fallunterscheidung machst, um festzustellen, wann die Funktionswerte größer oder kleiner als 0 sind.

Aber wie ist das, wenn die Funktion auch in y-Richtung verschoben ist und nur ein Teil der Funktion Betragsstriche hat?

Wenn nur ein Teil der Funktion in Betragsstrichen steht, betrachtest Du auch nur diesen Teil für die Fallunterscheidung. Du verwendest zwar den gesamten Funktionsterm, um den Funktionswert zu berechnen. Für die Fallunterscheidung ist aber nur interessant, wann der Teil in den Betragsstrichen negativ wird.

Die Betragsfunktionsoll betragsstrichfrei geschrieben werden.

Du untersuchst jetzt, wann der Teil in den Betragsstrichen negativ werden würde. Denn nur diesen Teil verändern die Betragsstriche.

Der Term ist positiv fürund negativ für. In zweiten Fall drehst Du daher die Vorzeichen um. Aber Achtung, Du drehst nur von dem Teil die Vorzeichen um, der ursprünglich in den Betragsstrichen stand.

Fürist der Funktionswert. Das kannst Du zusammenfassen:

Auch fürkannst Du den Funktionswert noch etwas vereinfachen:

Die Funktionsgleichung lautet schließlich:

Betragsfunktion zeichnen

Um eine Betragsfunktion zu zeichnen, kannst Du auch die betragsfreie Darstellung nutzen. Dort kannst Du die Werte gut berechnen.

Du kannst eine Betragsfunktion zeichnen, indem Du zuerst eine Wertetabelle erstellst und dann die Werte in ein Koordinatensystem einträgst. Achte dabei darauf, dass Du insbesondere den x-Wert verwendest, der an der Grenze zwischen den Fällen der Fallunterscheidung liegt.

Gezeichnet werden soll die Funktion. Du kannst die betragsfreie Schreibweise verwenden:

Nun legst Du eine Wertetabelle an:

Mithilfe einer Wertetabelle kannst Du jede Betragsfunktion zeichnen.

Wenn Du bereits weißt, wo die Grenze der abschnittsweisen Definition liegt, langt es auch, wenn Du diesen Punkt und noch je einen Punkt aus den beiden Abschnitten einzeichnest. Dann kannst Du bereits Halbgeraden zeichnen.

Weitere Betragsfunktionen – Beispiele

Du kannst nicht nur Beträge von linearen Funktionen als Betragsfunktionen verwenden, sondern zum Beispiel auch quadratische Funktionen.

ist zum Beispiel auch eine Betragsfunktion.

Wenn Du eine quadratische Betragsfunktion betragsfrei darstellen willst, ist die Fallunterscheidung etwas umfangreicher. Du bestimmst die Nullstellen der quadratischen Funktion und überprüfst dann, welcher Bereich positiv ist und welcher negativ.

Fürkannst Du mit dieser betragsfreien Schreibweise beginnen:

Aber wann ist denngrößer oder kleiner als 0? Das kannst Du so nicht ablesen. Du kannst aber eine Gleichung statt einer Ungleichung aufstellen und die Gleichung auflösen. Das entspricht dem Bestimmen der Nullstellen der Funktion. Dann weißt Du, wanngenau 0 ist. Zum Lösen kannst Du etwa die pq-Formel verwenden:

Beihat die Funktion g Nullstellen. Jetzt prüfst Du noch, ob die Funktion g in dem Intervall vor der Nullstelle, zwischen den Nullstellen und hinter der Nullstelle positiv oder negativ ist. Dazu setzt Du eine Zahl aus diesem Intervall in die Funktionsgleichung ein. Die Intervalle sind.

Die Funktion f hat im gesamten Intervall vonbis 1 positive Funktionswerte. Von 1 bis 3 sind die Funktionswerte negativ und von 3 biswieder positiv.

Es genügt, einen Wert in dem Intervall auszurechnen, da Du bereits weißt, dass in den Intervallen keine Nullstellen liegen.

Zusammengefasst bedeutet dies, dasspositiv ist für. Füristnegativ.

Die betragsfreie Definition von f ist daher:

Betragsfunktionen – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um selbst aktiv zu werden. Du kannst aber auch die Lösungen als Beispiele verwenden.

Aufgabe 1

Gib die Funktionsgleichungender neuen Funktionen an.

a) Der Graph der Betragsfunktionwird um 5 Einheiten in positive x-Richtung (nach rechts) verschoben.

b) Der Graph der Betragsfunktionwird um 4 Einheiten in negative y-Richtung (nach unten) verschoben.

Lösung

a) Die allgemeine Formel für eine in x-Richtung verschobene Betragsfunktion lautet:

Es wird um 5 Einheiten nach rechts verschoben. Deswegen ist. Die Funktionsgleichung lautet:

b) Die allgemeine Formel für eine in y-Richtung verschobene Betragsfunktion lautet:

Es wird um 4 Einheiten nach unten verschoben. Daher ist. Die Funktionsgleichung lautet:

Aufgabe 2

Bestimme die betragsfreie Darstellung der Funktion.

Lösung

Zuerst kannst Du eine betragsfreie Darstellung aufschreiben, bei der die Ungleichung noch nicht aufgelöst ist.

Beachte, dass Du in der Fallunterscheidung für x nur den Teil der Funktionsgleichung verwendest, der in den Betragsstrichen stand. Jetzt löst Du die Ungleichungen nach x auf.

Was sagt der Betrag aus?

Was bedeuten die Betragsstriche?

Wie ordnet man Beträge?

Wie gibt man Beträge an?