In diesem Kapitel werden wir die korrekte Ableitungsregel für eine spezielle Exponentialfunktion, die sogenannte e-Funktion, kennenlernen und im nächsten Kapitel schließlich einen Weg, eine beliebige Exponentialfunktion abzuleiten. Show 2. Grundbegriffe und HerleitungBei der Exponentialfunktion \$f(x)=a^x, a>0\$ wird \$a\$ als Basis und \$x\$ als Exponent bezeichnet. Diese ist nicht mit der Potenzfunktion zu verwechseln, die die Form \$f(x)=x^n\$ hat, für welche wir bereits die Ableitungsregel \$f'(x)=n * x^{n-1}\$ kennen. Um eine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion der Form \$f(x)=a^x\$ zu finden, gehen wir wie üblich vor: wir stellen den Differenzialquotienten auf und versuchen damit eine Regel zu erkennen: \$f'(x)=lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h=\$ \$lim_{h->0} {a^{x+h}-a^x}/h=lim_{h->0} {a^x*a^h-a^x}/h\$ Hier haben wir eines der Potenzgesetze verwendet, das uns erlaubt \$a^{x+h}\$ als \$a^x * a^h\$ zu schreiben. Somit können wir nun \$a^x\$ ausklammern und, da es nicht von \$h\$ abhängt, vor den Limes ziehen, so dass man den Ausdruck \$a^x*lim_{h->0} {a^h-1}/h\$ erhält. Nun verwenden wir einen kleinen "Trick": Wenn wir die Zahl \$1\$ durch \$a^0\$ ersetzen, bleibt der Ausdruck \$a^x*lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ übrig, wobei \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ nach der Definition der Ableitung nichts anderes ist, als die Ableitung von \$f(x)=a^x\$ an der Stelle 0, also \$f'(0)\$. Insgesamt haben wir als Ableitung von \$f(x)=a^x\$ den Ausdruck \$f'(x)=a^x * f'(0)=f(x)*f'(0)\$. \$ox\$ Dieses Ergebnis ist nicht wirklich zufriedenstellend: da benötigt man für die Ableitung an der Stelle x die Ableitung der Funktion an der Stelle 0! Und genau diese Ableitung haben wir noch nicht! Deshalb sind wir hier noch nicht fertig und suchen einen anderen Weg: in der Herleitung kam gerade der Ausdruck \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ vor; können wir vielleicht eine Basis a so wählen, dass dieser Limes die Zahl 1 ergibt? Dazu folgender Ansatz: \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h=lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}\$ Anstatt \$h\$ gegen 0 gehen zu lassen, kann man ebenso gut das \$h\$ durch \$1/n\$ ersetzen, wenn man das \$n\$ gegen \$oo\$ laufen lässt. Und wegen \$a^0=1\$ haben wir wieder die 1 statt des \$a^0\$ im Term stehen. Und dieser Grenzwert soll gleich 1 sein: \$lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}=1\$ Für die folgende prinzipielle Herleitung lassen wir den Limes hier weg und lösen den Term nach a auf: \${a^{1/n}-1}/{1/n}=1 | *(1/n)\$ \$a^{1/n}-1=1/n | +1\$ \$a^{1/n}=root(n)(a)=1+1/n \$ \$sqrt(3)=3^{1/2}\$ in Potenzschreibweise, analog dazu \$root(3)(4)=4^{1/3}\$, also kann man allgemein schreiben, dass \$root(n)(a)=a^{1/n}\$. Das haben wir soeben verwendet. Potenziert man die Gleichung nun auf beiden Seiten mit \$n\$, so erhält man \$a=(1+1/n)^{n}\$ Setzt man für \$n\$ nun immer größere Werte ein, so wird man überrascht feststellen, dass dieser Ausdruck gegen einen bestimmten Wert zu streben scheint: n \$(1+1/n)^{n}\$ 100 2.7048138294215285 1000 2.7169239322355936 10000 2.7181459268249255 100000 2.7182682371922975 1000000 2.7182804690957534 10000000 2.7182816941320818 100000000 2.7182817983473577 1000000000 2.7182820520115603 Diese besondere Zahl wird als Eulersche Zahl bezeichnet und mit dem Buchstaben \$e\$ bezeichnet. Die Eulersche Zahl hat näherungsweise den Wert \$e=2,71828\$ und die Funktion \$e^x\$ wird als e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion bezeichnet. Somit haben wir die besondere Basis \$e\$ gefunden, für die gilt, dass die Ableitung von \$e^x\$ an der Stelle 0 gleich 1 ist. In Verbindung mit der Gleichung \$ox text( )\$ von oben erhält man für \$f(x)=e^x\$ die Ableitung \$f'(x)=e^x *1=e^x=f(x)\$. Dadurch gilt natürlich auch: \$f''(x)=e^x\$ und \$f'''(x)=e^x\$, usw. Mit \$e^x\$ liegt also eine Funktion vor, die die besondere Eigenschaft hat, dass sie mit all ihren Ableitungen identisch ist! Ableitung der e-Funktion: Für die e-Funktion \$f(x)=e^x\$ mit \$e\$ als Eulersche Zahl gilt: \$f'(x)=e^x=f(x)\$ Vertiefung: Wir haben gesehen, dass \$lim_{n->oo} (1+1/n)^{n}\$ gegen \$e\$ strebt. Man kann etwas allgemeiner auch zeigen, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}\$ gegen \$e^a\$ läuft. Um dies nachvollziehbar zu machen, wiederholen wir die numerische Näherung mit \$n_0=1 000 000 000\$ für verschiedene Werte von a und notieren daneben \$e^a\$: a \$(1+a/n_0)^{n_0}\$ \$e^a\$ 0,5 1,648721 1,648721 1 2,718282 2,718282 2 7,389056 7,389056 4 54,598146 54,598150 8 2980,957021 2980,957987 Die Werte zeigen, dass diese Aussage zu stimmen scheint. Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden. 3. Beispiel zur Ableitung der e-FunktionAufgabe Leite \$f(x)=e^{2x}\$ ab. Lösung: \$f'(x)=e^{2x} * 2\$ Die Multiplikation mit der 2 kommt durch die Anwendung der Kettenregel zustande. Hier ist \$e^x\$ die äußere Funktion und \$2x\$ die innere Funktion, so dass die Kettenregel hier zur Anwendung kommt und man mit der Ableitung von \$2x\$ nachdifferenzieren muss. 4. Graph der e-FunktionDer Graph von \$e^x\$ geht bei 1 durch \$e=2,71828\$ und bei 0 durch \$e^0=1\$. Zusätzlich sind noch die Graphen von \$e^{-x}\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der y-Achse) und \$-e^x\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der x-Achse) eingezeichnet. Beachte, dass sich der Graph der normalen e-Funktion im negativen Bereich der x-Achse beliebig annähert, diese aber nie berührt, denn \$e^x>0\$ für alle \$x in RR\$. Warum ist E abgeleitet e?E Funktion ableiten einfach erklärt
Die Ableitung der e Funktion ist die e Funktion selbst. stehen haben. ein. Die innere Funktion ist dabei in der Regel der Exponent und die äußere Funktion ist eine e Funktion.
Kann man e ableiten?Einfach zu merken: Die Ableitung von ex ist ex. Die Kettenregel wird hier noch nicht benötigt. In diesem Fall wird der Exponent der E-Funktion substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet.
Was ist das Besondere an der E Funktion?Die e-Funktion: Eigenschaften
Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets f(x) = e x ≠ 0. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem x immer mehr der x-Achse und es gilt \lim\limits_{x \to -∞} ex = 0. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote.
Warum kann eine E Funktion nicht Null werden?Wie ihr sehen könnt verläuft der Graph der e-Funktion immer oberhalb der x-Achse. Der Graph nähert sich zwar der x-Achse an, wird diese aber nicht schneiden. Dies bedeutet wiederum, dass die klassische e-Funktion keine Nullstellen besitzt.
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