Hat jede quadratische Funktion eine Nullstelle?

Den Wertebereich der Funktion kannst du sofort angeben, wenn du den Scheitelpunkt der Parabel kennst und weißt, ob es Tiefpunkt oder Hochpunkt ist.

1. Der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt

Dafür ein Beispiel:
Der Scheitelpunkt der blauen Parabel liegt bei (6| - 1).
Welche Werte kann die Funktion annehmen?

Die Funktion nimmt nur Werte an, die -1 oder größer sind. -1 ist der $$y$$-Wert des Scheitelpunktes.

Mathematisch: Der Wertebereich der Funktion ist $$W={y in RR| y ≥ 1}$$.

Wenn der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt ist, weißt du:
Die Funktion nimmt alle Werte an, die größer als und gleich dem $$y$$-Wert des Scheitelpunkts sind.

2. Der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt

Auch dafür ein Beispiel:
Der Scheitelpunkt der lila Parabel liegt bei (-7| 5,5).
Welche Werte kann diese Funktion annehmen?

Die Funktion nimmt nur Werte an, die 5,5 oder kleiner sind.
5,5 ist der $$y$$-Wert des Scheitelpunktes.

Mathematisch: Der Wertebereich der Funktion ist $$W={y in RR| y ≤ 5,5}$$.

Wenn der Scheitelpunkt ein Hochpunkt ist, weißt du:
Die Funktion nimmt alle Werte an, die kleiner als und gleich dem $$y$$-Wert des Scheitelpunkts sind.

Zusammenfassung

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Symmetrie

Sind die Parabeln symmetrisch?

Wenn du durch den Scheitelpunkt eine Gerade legst, die parallel zur $$y$$-Achse verläuft, siehst du es. Zu dieser Geraden ist die Parabel symmetrisch.

Eine Parabel ist zur Geraden symmetrisch, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft und zur $$y$$-Achse parallel ist.

Zusammenfassung

Nullstellen

Die Punkte, an denen ein Graph die $$x$$-Achse schneidet, heißen Nullstellen.

$$f(x)$$ ist hier $$0$$, also $$f(x)=0$$.

Wie viele Nullstellen kann eine Parabel besitzen?

Bei Parabeln kann es drei unterschiedliche Situationen geben.

1. Keine Nullstelle

Liegt der Hochpunkt unter der $$x$$-Achse oder der Tiefpunkt über der $$x$$-Achse, schneidet die Parabel die $$x$$-Achse nicht.

2. Eine Nullstelle

3. Zwei Nullstellen

Quadratische Funktionen im Überblick

Was haben alle quadratischen Funktionen gemeinsam?

1. Quadratische Funktionen besitzen eine Spiegelachse. Sie verläuft parallel zur $$y$$-Achse durch den Scheitelpunkt.

   Du hast in der Schule verschiedene Arten gelernt, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen und weißt immer noch nicht, wie das wirklich funktioniert? Dieser Artikel nimmt dich Schritt für Schritt mit und zeigt dir anhand von Beispielen alle sieben Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.

   Wiederholung: Was ist eine quadratische Funktion?

   Eine quadratische Funktion enthält eine quadrierte Variable (also) im Funktionsterm und kann als grafische Parabel dargestellt werden.

   Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form.

   Diese Funktion kannst du dir zuerst einmal graphisch vorstellen, um sie besser zu verstehen.

   
   Abbildung 1: Quadratische Funktion

   Beispielhaft ist hier die Normalparabeldargestellt. Eine Parabel ist also bogenförmig und besitzt am Wendepunkt des Bogens einen Scheitelpunkt S. Sie kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

   Wiederholung: Was ist eine Nullstelle?

   Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der FunktionstermNull wird.

   Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt.Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

   Welche quadratische Funktion hat keine Nullstellen?

   Quadratische Funktionen ohne Nullstelle Betrachten wir beispielsweise die Funktion f(x) = x^2 - 4\cdot x + 5. Wir erkennen, dass der Graph die x-Achse weder schneidet noch berührt. Er besitzt also keine Nullstelle.

   Wann hat eine quadratische Funktion nur eine Nullstelle?

   Eine quadratische Funktion f mit f(x)=ax2+bx+c hat maximal zwei Nullstellen. Diese ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Gleichung ax2+bx+c=0. Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x0∈Df, für die f(x0)=0 gilt.

   Welche Funktion hat keine Nullstelle?

   Lineare Funktionen ohne Nullstelle Jede lineare Funktion hat entweder eine Nullstelle oder keine Nullstelle. Funktionen, die keine Nullstelle besitzen, verlaufen parallel zur x-Achse. Diese Gerade wird die x-Achse nie schneiden.

   Hat eine Parabel immer eine Nullstelle?

   Nullstellen einer Parabel berührt der Graph von f die x-Achse. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Lage der zugehörigen Parabel ab. Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse.