Vom Standpunkt der periodischen Funktionen Sinus und Cosinus betrachtet, ist die "natürlichste" Zahl nicht 1, sondern 2π, denn es gilt  Periodizitätfür alle reellen Zahlen x, und 2π ist die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Wir nennen sie die Periode (oder Periodenlänge) der Sinus- und der Cosinusfunktion. (Die Beziehungen (1) und (2) gelten sogar für alle komplexen Zahlen x, aber das werden wir hier nicht benötigen). Wie aus den Graphen der beiden Funktionen ersichtlich ist, hängen sie auch untereinander durch eine einfache Beziehung zusammen: In diesem Sinn sind sie nur "verschobene" Versionen voneinander. Zu ihren zahlreichen Anwendungen zählt die Beschreibung von Schwingungsvorgängen. Hat die Variable x die Bedeutung der Zeit (oder einer Größe, die proportional zur Zeit ist), und wird sie in der obigen Skizze gleichmäßig von links nach rechts durchlaufen, so beschreibt das Verhalten der Funktionswerte ein regelmäßiges ("harmonisches") Auf und Ab, zwischen den Werten –1 und 1. Doppelt so schnelle Vorgänge werden durch die Funktionen sin(2x) und cos(2x) beschrieben, dreimal so schnelle Vorgänge durch die Funktionen sin(3x) und cos(3x), usw. Für das Folgende werden wir auch eine Funktion benötigen, die überhaupt keine Schwingung beschreibt, sondern konstant ist. Dafür wählen wir die Funktion, die konstant 1 ist. All diese Funktionen gemeinsam wollen wir die trigonometrischen Basisfunktionen zur Periode 2π nennen. Fassen wir sie zusammen: (4a)cos(nx) für n = 1, 2, 3, ... (4b)sin(nx) für n = 1, 2, 3, ... (4c) Die konstante Funktion 1 gehört in gewisser Weise zur Gruppe der Cosinusfunktionen, da wir sie als Spezialfall von cos(nx) mit n = 0 ansehen können. (Erinnern Sie sich bzw. lesen Sie am obigen Graphen der Cosinusfunktion ab, dass cos(0) = 1 gilt). Für die Funktionen sin(nx) hingegen würden wir mit n = 0 lediglich die konstante Funktion 0 bekommen. Die Graphen der ersten vier Funktionen der Gruppe (4a) – (4b) sehen so aus: Die Graphen der ersten drei Funktionen der Gruppe (4c) sehen so aus: Die Graphen der Funktionen sin(nx) und cos(nx) für n > 1 werden aus jenen von sin(x) und cos(x) durch entsprechende "Stauchungen" in x-Richtung erhalten. Denkt man sich x als Zeit, so entsprechen komplexe Zahlen
Die höheren Basisfunktionen besitzen zwar auch kleinere Periodenlängen als sin(x) und cos(x) – und die konstante Funktion 1 besitzt jede Zahl als Periodenlänge –, aber wir wollen in den nun folgenden Überlegungen immer 2π als die Basisperiode, auf die wir uns beziehen, ansehen. Betrachtungen zurOrthogonalität Die trigonometrischen Basisfunktionen besitzen eine bemerkenswerte Eigenschaft, die mit dem Integrieren zusammenhängt. Sehen wir uns einmal den Graphen des Produkts sin(x) cos(x) an: integrierenÜber jedes Intervall hinweg betrachtet, dessen Länge mit der Periode 2π übereinstimmt, liegt gleich viel Flächeninhalt oberhalb wie unterhalb der x-Achse. Da das bestimmte Integral den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse misst (also Flächenstücke unterhalb der x-Achse negativ wertet), gilt offenbar c + 2π∫sin(x) cos(x) dx = 0 ,c (6) und zwar unabhängig davon, welcher Wert für die untere Grenze c angenommen wird. Üblicherweise wird in derartigen Ausdrücken das Intervall symmetrisch zum Nullpunkt gewählt, also c = –π gesetzt, womit (6) die Form annimmt. Das Gleiche können wir mit zwei beliebigen unserer Basisfunktionen machen, solange sie verschieden sind: So sieht etwa der Graph des Produkts sin(2x) cos(3x) so aus: Wieder scheint das bestimmte Integral über eine vollständige Basisperiode zu verschwinden: π∫ sin(2x) cos(3x) dx = 0 .–π (7) Die exakte Berechnung zeigt, dass (6), (6b) und (7) tatsächlich gelten. Intervalle bestimmtes Integral orientierter Flächeninhalt Aufgabe: Führen Sie den Beweis von (6b) selbst durch! Hier nur ein Tipp: Eine Stammfunktion von sin(x) cos(x) ist sin2(x)/2.Auch das Integral über das Produkt zweier verschiedener Sinus-Basisfunktionen oder zweier Cosinus-Basisfunktionen ist gleich 0, und das Gleiche gilt für die Integrale über die Sinus-Basisfunktionen und Cosinus-Basisfunktionen selbst (die mit der konstanten Funktion 1 multipliziert ja wieder sich selbst ergeben). Ganz allgemein gilt der folgende Satz: Für beliebige m = 1, 2, 3, ... gelten die Beziehungen ππ∫ sin(mx) dx = ∫ cos(mx) dx = 0 .–π–π (8) Für beliebige m = 1, 2, 3, ... und n = 1, 2, 3, ... mit m ≠ n gelten die Beziehungen ππ∫ sin(mx) sin(nx) dx = ∫ cos(mx) cos(nx) dx = 0 ,–π–π (9a) und für beliebige m = 1, 2, 3, ... und n = 1, 2, 3, ... gilt π∫ sin(mx) cos(nx) dx = 0 .–π (9b) Anstelle des Integrationsintervalls [–π, π] kann auch jedes Intervall der Form [c, c + 2π] genommen werden, also beispielsweise [0, 2π]. StammfunktionDer Beweis dieses Satzes kann am einfachsten mit Hilfe einer weiteren bemerkenswerten Eigenschaft der Sinus- und der Cosinusfunktion geführt werden. Die Eulersche Formel gestattet es, diese auf die (leichter zu integrierende) Exponentialfunktion zurückzuführen: Eulersche Formel: Für beliebige (reelle oder komplexe) x gilt Damit können die Sinus- und die Cosinusfunktion in der Form sin(x) = 1 2i ( eix – e–ix ) und cos(x) = 1 2 ( eix + e–ix ) (11) durch die (komplexe) Exponentialfunktion ausgedrückt werden. Eulersche FormelDer Beweis von (8) – (9b) ist dann eine sehr einfache Übung in Integration der Exponentialfunktion (siehe den nebenstehenden Button). Die Formeln (8) – (9b) können auf eine Weise, die Sie jetzt vielleicht überraschen wird, gedeutet werden: Sie besagen, dass die trigonometrischen Basisfunktionen in einem gewissen Sinn "aufeinander normal stehen". Doch halt – wie können Funktionen aufeinander normal stehen? Ist die Eigenschaft des Aufeinander-normal-Stehens nicht den Richtungen in Ebene und Raum und Objekten wie Vektoren in Ebene und Raum vorbehalten? Ja und nein! Im geometrischen Sinn von "bilden zueinander einen Winkel von 90�" ist sie das tatsächlich, aber wir haben hier eine Verallgemeinerung im Sinn. Dazu rufen wir uns in Erinnerung, dass das Skalarprodukt von Vektoren durch Formeln wie u · v = u1v1 + u2v2 bzw. u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 (12) definiert ist. (Im Unterschied zum zweiten Vektorkapitel schreiben wir hier einen Punkt, um das Skalarprodukt zu kennzeichnen). Zwei Vektoren u und v stehen aufeinander normal, wenn ihr Skalaprodukt gleich 0 ist, d.h. wenn u · v = 0 gilt. Für das durch (12) definierte Skalarprodukt gelten nun bestimmte Rechenregeln, die darauf hinauslaufen, dass wir Klammern mit Skalarprodukten genauso ausmultiplizieren können wie mit gewöhnlichen Produkten von Zahlen, dass stets u · v = v · u gilt, und dass die Beziehung u · u = 0 nur für u = 0 gilt. Mathematiker und Mathematikerinnen haben nun den Hang, derart schöne Strukturen auf andere Menge zu übertragen. Wenn wir insbesondere zwei Funktionen f und g, die auf dem Intervall [–π, π] definiert sind, die Zahl zuordnen (Achtung: mit f · g wird hier nicht die Produktfunktion x ® f (x) g(x) bezeichnet, sondern deren Integral!), so ergeben sich für diese Operation genau die gleichen Gesetze für das Rechnen mit Klammern wie für das Skalarprodukt von Vektoren, und wie für dieses gilt stets f · g = g · f. Bei der letzten Regel müssen wir etwas aufpassen: Da der Ausdruck f · f das Integral über ein Quadrat einer Funktion (das ja immer ≥ 0 ist) darstellt, gilt die Beziehung f · f = 0 nur für Funktionen, die entweder überall gleich 0 sind oder nur an so wenigen Stellen ≠ 0, dass das Integral nichts davon bemerkt. Diese kleine Komplikation ignorieren wir, und wir bezeichnen die Operation (13) als Skalarprodukt für Funktionen, die auf dem Intervall [–π, π] definiert sind. Auch in formaler Hinsicht ähnelt (13) den Formeln (12): Statt der Summe steht ein Integral, und anstelle der Komponenten u1, u2,... stehen nun die Funktionswerte f (x). Die Variable x entspricht dem Index, der die Vektorkomponenten durchnummeriert. Auf der Basis des Skalarprodukts (13) können wir nun zwei auf dem Intervall [–π, π] definierte Funktionen f und g als zueinander orthogonal bezeichnen, wenn f · g = 0 ist. Mit diesem Begriff von Orthogonalität besagen die Formeln (8) – (9b) nichts anderes, als dass je zwei (verschiedene) trigonometrische Basisfunktionen zueinander orthogonal sind. SkalarproduktNormierung Bevor wir zum eigentlichen Thema dieses Kapitels kommen – den Fourierreihen – müssen wir noch eine Frage stellen: Wenn die Formeln (8) – (9b) besagen, dass je zwei (verschiedene) trigonometrische Basisfunktionen bezüglich des Skalarprodukts (13) zueinander orthogonal sind, was ist dann eigentlich das Skalarprodukt einer solchen Funktion mit sich selbst? In Analogie zur Geometrie der Vektoren können wir ein Skalarprodukt der Form f · f als Quadrat der "Länge" (oder besser als Normquadrat) einer solchen Funktion auffassen. Die dafür nötigen Integrale können mit Hilfe der Eulerschen Formel (10) leicht berechnet werden (siehe den nebenstehenden Button). Die Ergebnisse sind: Satz: Für beliebige n = 1, 2, 3, ... gilt ππ∫ sin2(mx) dx = ∫ cos2(mx) dx = π .–π–π (14) Das Integral der konstanten Funktion 1 über das Intervall [–π, π] ist natürlich gleich 2π. Im Sinne des Skalarprodukts (13) hat die konstante Funktion 1 die Norm (2π)1/2, alle anderen trigonometrischen Basisfunktionen haben die Norm π1/2. Damit können wir die trigonometrischen Basisunktionen als geometrische Objekte deuten: Sie sind Elemente eines Raumes mit unendlicher Dimension, sind zueinander orthogonal und haben die soeben berechneten Normquadrate (also "Längenquadrate"). Im Folgenden spielen Sie eine ähnliche Rolle wie die drei Vektoren der Standardbasis des dreidimenaionalen Raumes R3, die ebenfalls aufeinander normal stehen, und in die sich jeder räumliche Vektor entwickeln lässt.
StandardbasisFourierreihe mit Periode 2πZum SeitenanfangIdee einer Reihenentwicklung Eine spezielle Form von Reihenentwicklung kennen Sie wahrscheinlich bereits: die Potenzreihenentwickung. Sie besteht darin, eine gegebene Funktion als "unendliche Linearkombination" von Funktionen der Form xn (mit n = 0, 1, 2, 3, ...), also – wenn Sie so wollen – als "unendliches Polynom" (eben als Potenzreihe) darzustellen. Eine der bekanntesten und wichtigsten Potenzreihenentwicklungen ist die der Exponentialfunktion: ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + ... . (15) Die Zahlen 1, 1, 1/2, 1/6,... treten hier als Koeffizienten der Funktionen 1, x, x2, x3,... auf, in die eine Funktion "entwickelt wird". So eine Entwicklung lässt sich nicht mit jeder Funktion durchführen, aber immerhin mit den interessantesten. Eine mögliche Anwendung besteht darin, eine Funktion durch ein Polynom zu approximieren, indem nur endliche viele Reihenglieder angegeben werden. So gilt für kleine x Die Fourierreihe ist eine ähnliche Konstruktion, wobei an die Stelle der Funktionen 1, x, x2, x3,... die trigonometrischen Basisfunktionen treten. Potenzreihen Exponentialfunktion zur Basis eEndlich: die Fourierreihe Nach so vielen Vorarbeiten kommen wir nun ohne weitere Umschweife zur Fourierreihe mit Periode 2π. Sie beruht auf einer weiteren Eigenschaft der trigonometrischen Basisfunktionen (4a) – (4c), die wir allerdings nicht beweisen: Sie sind vollständig in den Sinn, dass sich eine große Klasse von Funktionen durch sie beliebig genau approximieren lässt. Wir formulieren diesen Sachverhalt als Satz: Jede auf dem Intervall [–π, π] definierte stückweise stetige und beschränkte Funktion f kann als Fourierreihe in der Form f (x) = a0 2 + a1 cos(x) + a2 cos(2x) + a3 cos(3x) + ... + b1 sin(x) + b2 sin(2x) + b3 sin(3x) + ... (17a) oder, in Summenschreibweise, ∞f (x) = a0 2 + ∑ ( an cos(nx) + bn sin(nx) )n = 1 (17b) dargestellt werden. An allen Stellen x, an denen f stetig ist, konvergiert die Reihe gegen den Funktionswert f (x). An den Unstetigkeitsstellen konvergiert die Reihe gegen den Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert. (Für diese Stellen ist das Gleichheitszeichen in (17a) und (17b) also möglicherweise nicht gültig). Die Entwicklung einer Funktion in eine Fourierreihe kann als Zerlegung der Funktion in die durch die trigonometrischen Basisfunktionen dargestellten Schwingungen verstanden werden und heißt Fourieranalyse. stückweise stetig beschränkt links- und rechtsseitiger GrenzwertWir machen nun einige Bemerkungen dazu:
In der Sprechweise, die sich auf das Skalarprodukt (13) bezieht, entspricht es dem Quadrat der Norm (d.h. dem Quadrat der "Länge") der Differenz f – trigonometrisches Polynom. Werden immer mehr Glieder der Fourierreihe hinzugefügt, so strebt es gegen 0. Diese Eigenschaft beschreibt die Art der Konvergenz, die hinter dem Konzept der Fourierreihe steckt. Sie wird Konvergenz im quadratischen Mittel genannt. Ein anderer Name dafür ist Konvergenz in der L2-Norm (nach einem Fachausdruck, dessen genaue Erläuterung uns hier zu weit führen würde). Die Entwicklungskoeffizienten Lassen wir die Details beiseite, so sagt der obige Satz aus, dass eine gegebene Funktion mit Periode 2π in einer Fourierreihe entwickelt werden kann. Sei also f eine solche Funktion. Dann wüssten wir gern die Werte der Entwicklungskoeffizienten (Fourierkoeffizienten)
Berechnung von an für n = 1, 2, 3, ...: Wir multiplizieren die rechte Seite von (17a) bzw. (17b) mit einer der trigonometrischen Sinus-Basisfunktionen, beispielsweise sin(3x), und bilden danach das bestimmte Integral über das Intervall [–π, π]. Da aufgrund von (8) – (9b) die Integrale über alle Produkte von verschiedenen Basisfunktionen verschwinden, trägt nur ein einziger Term bei, und zwar jener, in dem sin(3x) mit sich selbst multipliziert wird. Mit (14) ergibt sich der Wert des Integrals zu π b3. Diesen setzen wird gleich dem Integral über das Produkt der linken Seite mit sin(3x) und lösen nach b3 auf. Der gleiche Methode kann mit jedem Sinusterm durchgeführt werden – der Vorgang ist stets der gleiche –, woraus sich ganz allgemein ergibt: Mit (19), (20) und (21) haben wir das Problem, die Entwicklungskoeffizienten zu einer gegebenen Funktion zu finden, gelöst. Im Unterschied zur Potenzreihenentwicklung einer gegebenen Funktion (der Taylorreihe, deren Entwicklungskoeffizienten durch Differenzieren gefunden werden) müssen wir im Fall der Fourierreihe Integrale berechnen, um sie zu bestimmen. Einige Bemerkungen dazu:
TaylorreiheSymmetrische und antisymmetrische Funktionen Für manche Funktionen kann die "Hälfte" der Entwicklungskoeffizienten auch ohne Integration bestimmt werden. Wie im zweiten Funktionenkapitel definiert, nennen wir eine Funktion f symmetrisch (oder gerade), wenn und antisymmetrisch (oder ungerade), wenn f (–x) = – f (x) (22b) für alle x. Der Graph einer symmetrischen Funktion geht durch eine Spiegelung an der y-Achse in sich selbst über. Der Graph einer antisymmetrischen Funktion geht durch eine Punktspiegelung am Ursprung (d.h. durch eine Drehung im 180�) in sich selbst über. Weiters gilt
Symmetrische und antisymmetrische Funktionen sind bezüglich des Skalarprodukts (13) zueinander orthogonal. Das erste Integral in (8) und die Beziehung (9b) drücken genau genommen lediglich diese Orthogonalität aus. Daher hat die Fourierreihe einer symmetrischen Funktion keinen antisymmetrischen Anteil, und die Fourierreihe einer antisymmetrischen Funktion hat keinen symmetrischen Anteil. symmetrisch (gerade) und antisymmetrisch (ungerade)Tipps zur Berechnung von Integralen Wie bei der Berechnung der hier auftretenden Integrale am besten vorgegangen wird, hängt natürlich von der konkreten Funktion f ab, die in eine Fourierreihe entwickelt werden soll. Die Schwierigkeit besteht darin, Integrale wie (20) und (21) für alle n zu berechnen – also genau genommen unendlich viele Integrale. In der Praxis werden oft Funktionen betrachtet, die stückweise in Teilintervallen wie [–π, 0] und [0, π] durch einfache Terme definiert ist. Wir wollen hier nicht auf die verschiedenen Berechnungsmethoden eingehen, sondern geben nur zwei Tipps:
Wolfram Mathematica Online Integrator verwenden. Wir werden im Folgenden nicht auf die Berechnung der auftretenden Integrale eingehen, sondern lediglich die Ergebnisse angeben. Stammfunktion (unbestimmtes Integral)Beispiele Jetzt ist es Zeit für ein paar Beispiele. Um anhand von Beispielen ein Gefühl für Fourierreihen zu bekommen, gibt es zwei Möglichkeiten: Sie können vorgegebene Funktionen in Fourierreihen entwickeln, und Sie können mit Fourierreihen spielen, in dem Sie trigonometrische Polynome vorgenen und ihre Graphen betrachten. Für die zweite Möglichkeit steht das nebenstehende Applet zur Verfügung. Stellen Sie die Schieberegler, die den ersten 11 Entwicklungskoeffizienten entsprechen, nach Belieben ein und sehen Sie sich die Funktionsverläufe an, die daraus entstehen! Die erste Möglichkeit ist etwas mühsamer, denn für sie müssen wir Integrale berechnen. und wird auf ganz R periodisch fortgesetzt. Ihr Graph sieht so aus: Sie ist bei allen ungeraden Vielfachen von π unstetig. Welcher Wert ihr an diesen Stellen zugewiesen wird, ist für ihre Fourierreihe unerheblich. Da sie eine antisymmetrische Funktion ist, gilt a0 = 0 und an = 0 für n = 1, 2, 3, .... Wir müssen also lediglich mit Hilfe von (21) die Entwicklungskoeffizienten bn berechnen. Mit (23) ergibt sich πbn = 1 π ∫ x sin(nx) dx = – 2 (–1)n n .–π (24) Damit ist die Fourierreihe der Sägezahnfunktion bestimmt. Aus (24) entnehmen wir die Werte der ersten vier Koeffizienten zu b1 = 2, b2 = –1, b3 = 2/3 und b4 = –1/2. Das aus den entsprechenden vier Termen bestehende trigonometrische Polynom (wir wollen es g4 nennen) approximiert die Sägezahnfunktion bereits in erkennbarer Weise, wenngleich noch nicht sehr genau: Das aus den ersten zehn Termen bestehende trigonometrische Polynom g10 kommt der Sägezahnfunktion bereits näher: Nehmen wir immer mehr Reihenglieder dazu, so spielen die hinzukommenden höheren Frequenzen mit den bereits vorhandenen auf wunderbare Weise zusammen, so dass die Approximation mit den ersten 30 Termen der Reihe schon vielversprechend aussieht: Lediglich in der Nähe der Unstetigkeitsstellen herrscht noch etwas Unruhe, die nicht dem Verlauf der Sägezahnfunktion entspricht. Durch Hinzunahme weiterer Terme können wir sie zwar zusammenschieben, aber nicht gänzlich loswerden, solange wir nur endlich viele Reihenglieder betrachten. Das ist das so genannte Gibbssche Phänomen: ein "Überschwingen" der abgebrochenen Fourierreihe in der Nähe jeder Unstetigkeitsstelle. Erst wenn wir die vollständige Fourierreihe betrachten, so verschwindet es: Die Reihe konvergiert dann überall außer an den Unstetigkeitsstellen gegen die gegebene Funktion. An den Unstetigkeitsstellen konvergiert sie – wie bereits oben erwähnt – gegen den Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert der gegebenen Funktion, d.h. gegen den Wert 0. Der Graph der von der Fourierreihe dargestellten Funktion (wir nennen sie g∞) sieht also so aus: Er stimmt – außer an den Unstetigkeitsstellen, an denen wir f gar nicht festgelegt haben – mit dem der Sägezahnfunktion überein. Beispiel 2: Der Dreiecksimpuls ist durch in unserem Basisintervall definiert und wird auf ganz R periodisch fortgesetzt. Der Graph dieser Funktion sieht so aus: Es handelt sich diesmal um eine stetige Funktion. Sie ist symmetrisch, und daher gilt bn = 0 für n = 1, 2, 3, .... Wir müssen also lediglich mit Hilfe von (19) und (20) die Entwicklungskoeffizienten a0 und an für n = 1, 2, 3, ... berechnen. Mit (25) ergibt sich Dieses Integral berechnen Sie entweder durch eine Zerlegung des Integrationsintervalls in zwei Teilintervalle, was auf ein Integral von –π bis 0 und eines von 0 bis π führt, oder Sie bemerken, dass der Integrand in (26) symmetrisch ist, weshalb das Ergebnis zweimal dem ersten Teilintegral ist, oder Sie lesen den Flächeninhalt unter dem Graphen ab, ohne zu integrieren! Weiters finden wir πan = 1 π ∫ (π – |x|) cos(nx) dx = 2 (1 – (–1)n) π n2 –π (27) für n = 1, 2, 3, .... (Um dieses Integral – ohne den Vorfaktor 1/π – mit WolframAlpha zu berechnen, geben Sie integrate (pi-abs(x)) cos(n x) from x=-pi to pi ein und benutzen cos(πn) = (–1)n für ganzzahliges n). Daraus entnehmen wir a1 = 4/π, a2 = 0, a3 = 4/(9π), a4 = 0 und a5 = 4/(25π). Außer a0 verschwinden alle Koeffizienten mit geradem Index. Das aus den ersten drei nichtverschwindenden Termen bestehende trigonometrische Polynom g3 approximiert den Dreieckimpuls bereits recht gut: Beispiel 3: Als nächstes Beispiel betrachten wir die (wieder periodisch auf ganz R fortgesetzte) Treppenfunktion Ihr Graph sieht so aus: Diese Funktion ist weder symmetrisch noch antisymmetrisch, aber wenn Sie den Graphen genau anschauen, können Sie erkennen, dass f (x) – 1/2 (eine Funktion, deren Graph im Vergleich zum obigen um 1/2 nach unten verschoben ist) antisymmetrisch ist. f (x) ist daher 1/2 plus eine antisymmetrische Funktion (deren Fourierreihe demnach nur sin(nx)-Anteile besitzt). Daher wissen wir von vornherein, dass a0 = 1 gilt, und dass alle anderen an = 0 sind. (Der umständliche Weg besteht natürlich darin, die entsprechenden Integrale zu berechnen). Die verbleibenden Entwicklungskoeffizienten sind πbn = 1 π ∫ sin(nx) dx = 1 – (–1)n π n .0 (29) Der Graph der nach den ersten zehn nichtverschwindenden Gliedern abgebrochene Fourierreihe sieht so aus: An ihm ist das Gibbssche Phänomen wieder recht schön zu erkennen. An den Unstetigkeitsstellen von f konvergiert die Fourierreihe gegen den Wert 1/2. Beispiel 4: Unser letztes Beispiel ist eine Funktion, die nicht durch eine Termdarstellung, sondern von vornherein über ihre Fourierreihe definiert ist: Es zeigt, dass Fourierreihen auch Funktionen darstellen können, die ganz unerwartete Eigenschaften besitzen: ∞f (x) = ∑ 2–k/2 sin(2kx) = sin(x) + 2–1/2 sin(2x) + 2–1 sin(4x) + 2–3/2 sin(8x) + ... .k = 0 (30) Applet Sie ist in jedem Punkt stetig, aber in keinem Punkt differenzierbar! Könnten sie sich näher an ihren Graphen heranzoomen, so würde er auch bei beliebiger Vergrößerung ähnlich ausgefranst aussehen. Sie wurde im zweiten Kapitel zum Thema Differenzieren genauer diskutiert. stetig nirgends differenzierbar Applet Die spektrale Form der Fourierreihe Wir sind nun in der Lage, eine gegebene Funktion mit Periode 2π in eine Fourierreihe zu entwickeln. Stellen wir uns x als Zeit vor, so bedeutet das, einen zeitlich periodischen Vorgang in eine Grund- und unendlich viele Oberschwingungen zu zerlegen. Mit einer solchen Zerlegung sind auch die Anteile der einzelnen Frequenzen n bestimmt, die "in der Funktion stecken". Da aber zu jeder Frequenz n zwei Funktionen gehören, nämlich cos(nx) und sin(nx), und dementsprechend zwei Koeffizienten an und bn, muss der entsprechende Frequenzanteil eine Kombination dieser beiden sein. Er wird deutlicher sichtbar, wenn die Fourierreihe in einer leicht modifizierten Weise angeschrieben wird. Dazu benutzen wir die Tatsache, dass jede Linearkombination der Form auch mit Hilfe einer einzigen Sinus- oder Cosinusfunktion, einer Amplitude A ≥ 0 und einer Phase φ geschrieben werden kann. Wir entscheiden uns für die Form Der Grund dafür, dass (31) stets auch in der Form (32) angeschrieben werden kann, ist die Beziehung cos(x – φ) = cos(x) cos(φ) + sin(x) sin(φ), (33) die für beliebige x und φ gilt. Damit können (31) und (32) ineinander umgerechnet werden. Die Umrechnungsformeln lauten für die Amplitude und – wenn diese berechnet ist – für die Phase φ (die nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt ist, was aber keine Rolle spielt). Üblicherweise bildet man b/a = tan(φ) und berechnet φ mit Hilfe des Arcus Tangens, aber je nach den Vorzeichen von a und b muss dann unter Umständen noch π addiert werden, um (34b) und (34c) zu erfüllen. Formal haben wir hier mit diesen letzten beiden Formeln die gleichen Beziehungen vor uns, die wir benutzen, um kartesische Koordinaten und ebene Polarkoordinaten ineinander umzurechnen. Führen wir eine derartige Umformung für alle Linearkombinationen der Form an cos(nx) + bn sin(nx) durch, so erhalten wir eine Form der Fourierreihe, in der die Frequenzanteile unmittelbar ersichtlich sind. Die spektrale Form der Fourierreihe mit Periode 2π lautet f (x) = A0 2 + A1 cos(x – φ1) + A2 cos(2x – φ2) + A3 cos(3x – φ3) + ... (35a) oder, in Summenschreibweise, ∞f (x) = A0 2 + ∑ An cos(nx – φn) .n = 1 (35b) Die Konstanten An ≥ 0 (für n = 1, 2, 3, ...) bilden das Amplitudenspektrum (auch Fourierspektrum oder Frequenzspektrum) von f, die Konstanten φn bilden das Phasenspektrum von f. Sie können aus der Form (17a) bzw. (17b) durch die Beziehungen sowie, für n = 1, 2, 3, ..., und ermittelt werden. In manchen Anwendungen ist nur das Amplitudenspektrum von Interesse. Es ergibt sich – ohne, dass die Phasen φn berechnet werden müssten – mit (37) direkt aus der früheren Form der Fourierreihe. Das Amplitudenspektrum, d.h. die Gesamtheit der Konstanten An für n = 1, 2, 3, ... ist die Antwort auf die Frage, wie viel von jeder Frequenz n in einer gegebenen Funktion f steckt. Für das obige Beispiel 1 (23) sieht es so aus: Für das obige Beispiel 2 (25) sieht es so aus: Für das obige Beispiel 3 (28) sieht es so aus: Ein interessanter Zug dieser Diagramme liegt in ihrem augenfälligsten Unterschied, dem Abfallverhalten der An für große n: Im ersten und im dritten Beispiel fallen die An wegen (24) und (29) wie 1/n ab, im mittleren Beispiel wegen (27) wie 1/n2, also viel schneller als in den beiden anderen Beispielen. Sehen wir uns die Graphen der dargestellten Funktionen an, so erkennen wir einen anderen Unterschied: Die Funktionen des ersten und dritten Beispiels sind unstetig, die im mittleren Beispiel ist stetig. Das ist kein Zufall: Im Abfallverhalten des Amplitudenspektrums (das eine globale Eigenschaft der Funktion n ↦ An ist) widerspiegeln sich häufig lokale Eigenschaften wie Stetigkeit/Unstetigkeit oder der Grad an Differenzierbarkeit der dargestellten Funktion. Wir gehen nicht auf die tieferen Gründe für Zusammenhänge dieser Art ein, sondern betrachten zuletzt das obige Beispiel 4 (30), das eine nirgends differenzierbare Funktion darstellt. Ihr Amplitudenspektrum sieht so aus: Hier sind nur jene An von 0 verschieden, für die n eine Potenz von 2 ist (also für n = 1, 2, 4, 8, 16, ...). Die verbleibenden An verhalten sich wie 1/n1/2 und fallen daher langsamer ab als in allen Beispielen zuvor. Ob nun in f ein "größerer" oder ein "kleinerer" Anteil hoher Frequenzen steckt als in den anderen Funktionen, ist angesichts der vielen verschwindenden An Ansichtssache, aber das Beispiel bewahrt uns vor immerhin vor allzu vereinfachenden Schlüssen. Arcus Tangens PolarkoordinatenDie komplexe Form der Fourierreihe Die Eulerschen Formeln (10) und (11) erlauben es, die Funktionen cos(nx) und sin(nx) durch die komplexen Exponentialfunktionen einx und e–inx auszudrücken. Damit kann die Fourierreihe in einer für manche Zwecke geeigneteren – und vielleicht auch ästetisch ansprechenderen – Form angeschrieben werden. Die komplexe Form der Fourierreihe mit Periode 2π lautet ∞f (x) = ∑ cn einx ,n = –∞ (39) wobei die Koeffizienten cn für alle ganzzahligen n direkt aus f mittels der Formel bestimmt werden können. Die durch (39) dargestellte Funktion f ist genau dann reellwertig, wenn die Koeffizienten die Bedingung erfüllen, wobei der Stern das komplex Konjugieren bezeichnet. Der Zusammenhang zur Fourierreihe in der Form (17a) bzw. (17b) ist durch gegeben, wobei (42b) und (42c) für n = 1, 2, 3, ... gelten. Die komplexe Form der Fourierreihe wird in der Physik oft verwendet und ist unter anderem der Ausgangspunkt für die Fouriertransformation, über die wir weiter unten noch ein paar Worte sagen werden. Nachbemerkung: Auch im Zusammenhang mit dieser Formulierung kann ein Skalarprodukt für Funktionen verwendet werden, wobei allerdings im Unterschied zu (13) eine der beiden Funktionen durch ihre komplex Konjugierte zu ersetzen ist, bevor das Integral gebildet wird. Man spricht dann auch von einem inneren Produkt, um es sprachlich von der reellen Version zu unterscheiden.
komplex konjugieren Fourierreihe mit Periode LZum Seitenanfang Bisher haben wir nur periodische Funktionen betrachtet, deren Periodenlänge 2π ist. Der gesamte Formalismus kann leicht auf Funktionen übertragen werden, deren Periodenlänge durch irgendeine andere Zahl L > 0 gegeben ist. Die einfachste Methode, alle bisherigen Ergebnisse auf diesen allgemeinen Fall zu übertragen, besteht darin, anstelle der gegebenen Funktion f mit Periode L die Hilfsfunktion h(x) = f ( L x 2π ) (43) zu betrachten. h besitzt die Periode 2π, denn h(x + 2π) = f ( L x 2π + L) = f ( L x 2π ) = h(x) (44) für alle x. Nun wird h in der bisher besprochenen Form in einer Fourierreihe entwickelt und danach alles wieder durch f ausgedrückt. Alles in allem besteht der allgemeinere Formalismus, der auf diese Weise erhalten wird, darin, dass einige der Faktoren π der obigen Formeln durch L/2 und die trigonometrischen Basisfunktionen durch ersetzt werden. Die Fourierreihe mit Periode L lautet ∞f (x) = a0 2 + ∑( an cos (2πnx L ) + bn sin (2πnx L )),n = 1 (46) wobei die Entwicklungskoeffizienten durchsowie L/2an = 2 L ∫f (x) cos (2πnx L ) dx–L/2 (48) und L/2bn = 2 L ∫f (x) sin (2πnx L ) dx–L/2 (49) gegeben sind. Die spektrale Form einer solchen Fourierreihe lautet ∞f (x) = A0 2 + ∑An cos (2πnx L – φn),n = 1 (50) wobei die Umrechnung der Koeffizienten durch die gleichen Formeln (36) – (38b) wie früher beschrieben wird. Die komplexe Form der Fourierreihe lautet ∞f (x) = ∑ cn e2πinx/Ln = –∞ (51) mit L/2cn = 1 L ∫ f (x) e–2πinx/L dx .–L/2 (52) Der Zusammenhang mit den Koeffizienten in (46) ist durch die gleichen Formeln (42a) – (42c) wie früher beschrieben. In allen Formeln mit Integralen kann anstelle des Integrationsintervalls [–L/2, L/2] kann auch jedes andere Intervall der Länge L genommen werden. Wir können nun die Variable x physikalisch ganz korrekt als Zeit ansehen. Die Periode L erhält dann die Bedeutung der Periodendauer der Grundschwingung. In der Physik wird zur Beschreibung eines zeitlichen Ablaufs statt x das Symbol t gewählt. Die Periodendauer T, die das Symbol L ersetzt, wird meist in einer der Formen angeschrieben, womit die in der Fourierreihe auftretenden trigonometrischen Funktionen die Form annehmen. ν wird Frequenz der Grundschwingung genannt (diesmal in korrekter physikalischer Begrifflichkeit als Zahl der vollständigen Perioden pro Zeitintervall). Oft wird für diese Größe auch das Symbol f verwendet, das wir aber für die zu entwickelnde Funktion reserviert haben. ω ist die so genannte Kreisfrequenz der Grundschwingung. Fourierreihen werden in der Akustik benutzt, um Töne und Klänge zu analysieren. Das Amplitudenspektrum ist die für die Klangfarbe hauptverantwortliche Größe. In der Elektrotechnik kommen Fourierreihen beispielsweise bei der Analyse des Verhaltens von elektrischen Impulsen in Schaltkreisen zum Einsatz. Kontinuierliche Verallgemeinerung: die FouriertransformationZum Seitenanfang Wir erwähnen zum Abschluss noch ein Konzept, das auf nicht-periodische Funktionen angewandt werden kann. Können wir die Periode L immer größer machen, so dass sie letzlich (im Grenzübergang L → ∞) mit ganz R übereinstimmt? Das ist tatsächlich möglich: Für wachsendes L wird die Größe 2πn/L, die in der Fourierreihe mit Periode L auftritt, bei festgehaltenem n immer kleiner. Die Differenz zweier solcher benachbarter Größen (für n und n + 1) wird ebenfalls immer kleiner. Im Grenzübergang L → ∞ wird k = 2πn/L daher zu einer kontinuierlichen Variable, und die Summe über n in der Fourierreihe wird durch ein Integral ersetzt. Damit erhalten wir so etwas wie die Entwicklung einer gegebenen (nicht-periodischen) Funktion f in Schwingungen beliebiger Frequenzen (also nicht nur in ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz). Sie wird üblicherweise in komplexer Form angeschrieben und lautet ∞f (x) = 1 (2π)1/2 ∫ F(k) eikx dk .–∞ (55) Die Funktion F spielt die Rolle der Entwicklungekoeffizienten cn in der komplexen Form der Fourierreihe. Sie heißt Fouriertransformierte von f, und der Übergang f ↦ F heißt Fouriertransformation. Besonders schön ist die Formel, mit der wir sie aus f berechnen können. Sie ist die Entsprechung von (52) und lautet ∞F(k) = 1 (2π)1/2 ∫ f (x) e–ikx dx .–∞ (56) Beachten Sie, dass sie eine ganz ähnliche Form wie (55) hat. Der Vorfaktor in (55) wurde so gewählt, dass sich in (56) der gleiche Vorfaktor ergibt. Wenn Sie für eine Funktion f die Funktion F mit (56) berechnen und in (55) einsetzen, so erhalten Sie f zurück. (Dabei ist vorausgesetzt, dass alle vorkommenden Integrale existieren. Die Fouriertransformation ist nur für Funktionen, die im Unendlichen genügend schnell gegen 0 gehen und im Endlichen keine allzu schlimmen Unendlichkeiten besitzen, anwendbar). In der Quantentheorie spielt k die Rolle des Impulses (genauer: Impuls = Plancksche Konstante mal k). Die Fouriertransformation ist die mathematische Grundlage für die Heisenbergsche Unschärferelation. |
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