Addieren unterschiedliche basis gleicher exponent

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Rechenregeln für Potenzen
Kann man Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten addieren?
Wie rechnet man Potenzen mit gleicher Basis?

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Mathematik, Mathe

ich erinnere mich nur an die regeln für subtrahieren und multiplizieren.

Die Regel zum Subtrahieren ist die gleiche wie die zum Addieren.

Zusammenfassen lässt sich nicht mehr viel. Man könnte es noch umständlich umformen zu a^4(a^4 + 1). Aber es bringt nicht wirklich effektiv etwas.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

a^8 + a^4

a^8 kannst du auch schreiben als a^(4+4), denn a^(4+4) = a^8

a^(4+4) kannst du schreiben als a^4 * a^4 aufgrund des Potenzgesetzes. Diese besagt:

a^n * a^m = a^(n+m)

Auf unser Beispiel übertragen, müsste a^4 * a^4 = a^8 ergeben und das tut es auch, denn a^(4+4) = 8

Nun wissen wir, dass a^8 = a^4 * a^4

Es folgt für obige Gleichung:

a^4 * a^4 + a^4 = a^4 * (a^4 +1)

Nun zu deiner anderen Aufgabe:

a^8 + a^4 - (a^4 - a^2)^2 soll 2a^6 sein)

(a^4 - a^2)^2 ist eine Binomische Formel. Somit folgt:

(a^4 - a^2)^2 = (a^4)^2 - 2*a^4 * a^2 + (a^2)^2

So dieser Ausdruck lässt sich durch folgendes Gesetz vereinfachen:

(a^m)^n = a^(m*n) und a^m * a^n = a^(m+n)

also folgt:

(a^4)^2 - 2*a^4 * a^2 + (a^2)^2 = a^8 - 2 * a^(4+2) + a^4 = a^8 - 2 * a^6 + a^4

Setzen wir nun diesen Ausdruck in obigen ein:

a^8 + a^4 - (a^4 - a^2)^2 = a^8 + a^4 - [a^8 - 2 * a^6 + a^4] = a^8 + a^4 - a^8 + 2 * a^6 - a^4 = 2a^6

Das geht nicht. Sagen wir a^8 sind Äpfel und a^4 sind Apfelsinen. Die kannst du ja auch nicht zusammenfassen.

Bei Potenzen sind folgende 5 Potenzgesetze wichtig:

1.Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die gemeinsame Basis beibehält. 5^3 * 5^4 = 5^(3+4) = 5^7

2.Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die gemeinsame Basis beibehält. 5^7 : 5^4 = 5^(7-4) = 5^3

3.Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den gemeinsamen Exponenten beibehält. 2^4 * 3^4 = (2*3)^4 = 6^4

4.Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den gemeinsamen Exponenten beibehält. 3^4 : 2^4 = (3:2)^4 = 1,5^4

5.Potenzgesetz: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. (5²)³ = 5^(2*3) = 5^6

Dazu gibt es noch eine Vorzeichenregel. Alles wird in diese Playlist ausführlich und gut erklärt. Zudem gibt es zu jedem Potenzgesetz noch einige Übungen mit Lösungen:

https://www.youtube.com/watch?v=0XO0W8Fgc8Y&list=PLKw2z7Amtgjb_wGHfAXUq_1AUy5YUXzi8

Du kannst keine variablen mit verschiedenen Potenzen addieren a^8+a^4 kann nicht weiter vereinfacht werden, zumindest nicht, wenn der Rest der Gleichung es nicht zulässt.

Addition und Subtraktion von Potenzen:

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden. Beispiel: 3x^4 - 5x^2 + 6x^4 + 3x^2 = (5x+3x)^2 - (3x-6x)^4 hoffe ich konnte dir helfen :)

Rechenregeln für Potenzen

Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

\({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
\({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
\({0^n} = 0\)
\({a^0} = 1\)
\({a^1} = a\)
\(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
\(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen

Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".

\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen

Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.

\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen

Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt

\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)

Potenzen potenzieren bzw. radizieren

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)

Kann man Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten addieren?

Unter welchen Voraussetzungen lassen sich Potenzen einer Summe zusammenfassen? Die Basis und der Exponent beider Potenzen müssen unterschiedlich sein. Die Potenzen müssen denselben Exponenten besitzen. Summen von Potenzen lassen sich nur zusammenfassen, wenn es sich um Zehnerpotenzen handelt.

Wie rechnet man Potenzen mit gleicher Basis?

Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.