Elementare WahrscheinlichkeitsrechnungIn der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A). Show
Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:
Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel ist P(6) = 1/6. Rechenregeln:
Beispiele:
Bedingte Wahrscheinlichkeit Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt: P(B|A) = P(A und B)/P(A) (Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.) Beispiele:
Manche Aufgaben können wir uns mit einem Baumdiagramm veranschaulichen (s.u.). Beispiel:
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Kernidee der MindestwahrscheinlichkeitBei Bernoulli-Versuchen wird häufig die interessante Frage gestellt, wie oft man den Versuch durchführen muss, um mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen. Bevor wir dieser Frage nachgehen, wollen wir zunächst klären, was ein Bernoulli-Versuch ist. Definition Bernoulli-VersuchEin $n$-stufiger Bernoulli-Versuch ist ein $n$-stufiges Zufallsexperiment, bei dem ein bestimmtes Ereignis (Erfolg, Treffer) eintreten kann oder nicht (Misserfolg, Niete). Dabei ändert sich die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Eintreten eines Ereignisses, die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit, während der Versuchsreihe nicht. Dies gilt auch für die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q = 1– p$. Ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch kann $0$, $1$, $2$, ..., $n$ Erfolge haben. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Erfolge an. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge bei einem $n$-stufigen Bernoulli-Experiment eintreten, beträgt $P (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ heißt Binomialverteilung. Beispiel Bernoulli-VersuchDas Werfen eines Würfels ist der klassische Bernoulli-Versuch. Als Erfolg könnte das Ereignis definiert sein, eine $6$ zu würfeln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann $p = \frac16$ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q = 1 – p = \frac56$. Mindestwahrscheinlichkeit und KomplementärregelWir stellen uns nun noch einmal die Frage: Wie oft muss ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch durchgeführt werden, damit mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit $M$ mindestens ein Erfolg eintritt? Diese Frage lässt sich mithilfe der Komplementärregel beantworten, welche die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also nur Misserfolge, untersucht: $P(X=0) = q^n$. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann $P(X \ge 1) = 1 - q^n$. Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens $M$ betragen, sodass diese Ungleichung erfüllt sein muss: $P(X \ge 1) = 1 - q^n \ge M$. Wie wir diese Ungleichung durch Logarithmieren lösen können, wollen wir anhand eines Beispiels verstehen. BeispielWie oft muss gewürfelt werden, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $M = 90\%$ mindestens einmal die Augenzahl $6$ auftritt? Gesucht ist also die Anzahl $n$ der Versuchsdurchführungen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p = \frac16$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit also $q = \frac56$. Die Wahrscheinlichkeit für $0$ Erfolge bei $n$ Versuchen kann so berechnet werden: $P(X=0)=\left( \frac56 \right) ^n$. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann $P(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right) ^n$. Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens $M = 90\%$ betragen. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung: $P(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right)^n \ge 0,9 \Leftrightarrow \left( \frac56 \right) ^n \le 0,1$. Diese Ungleichung wollen wir mithilfe des Logarithmus lösen: $\begin{array}{llll} &~& \left( \frac56 \right) ^n & \le 0,1\\ &\Leftrightarrow& n \cdot \ln \left( \frac56 \right) & \le \ln \left(0,1 \right)\\ &\Leftrightarrow& n & \ge \frac{\ln \left(0,1 \right) }{\ln \left( \frac56 \right)} \approx 12,6 \end{array}$ Weil $\ln \left( \frac56 \right)$ eine negative Zahl ist und wir durch diese dividieren, kehrt sich das Ungleichheitszeichen im letzten Schritt um. Es muss also mindestens 13-mal gewürfelt werden, damit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit eine $6$ geworfen wird. Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-RegelnDie Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Erfolge bei einem $n$-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ kann durch die Sigma-Regeln abgeschätzt werden. Dazu benötigen wir den Erwartungswert $ \mu = n \cdot p$ und die Standardabweichung einer Binomialverteilung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$. Dann treten Ergebnisse
Wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $90\%$, $95\%$ oder $99\%$ und eine Mindestanzahl von $k$ Erfolgen gegeben sind, kann man den notwendigen Stichprobenumfang $n$ bereits berechnen. Betrachten wir dazu ein Beispiel. Beispiel Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-RegelnFür eine repräsentative Umfrage werden $600$ ausgefüllte Fragebögen benötigt, erfahrungsgemäß kommen im Schnitt aber nur $70\%$ der verschickten Fragebogen zurück. Wie viele Fragebogen muss man nun verschicken, um mit $95\%$ Mindestwahrscheinlichkeit $600$ ausgefüllte Fragebogen zu erhalten? Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist hier $p = 0,7$, der Erwartungswert $\mu = n \cdot 0,7$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3}$. Die Anzahl der verschickten Fragebögen $n$ muss also diese Ungleichung erfüllen: $\mu - 1,64 \sigma = n \cdot 0,7 - 1,64 \cdot \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3} \ge 600$. Diese Gleichung kann mithilfe der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält die Ungleichung $n \ge 876,525$. Es müssen also mindestens $877$ Fragebögen verschickt werden. Alle Videos zum ThemaVideos zum ThemaMindestwahrscheinlichkeiten (2 Videos) Alle Arbeitsblätter zum ThemaArbeitsblätter zum ThemaMindestwahrscheinlichkeiten (1 Arbeitsblatt) Wie oft muss man eine Münze mindestens werfen?Ausführliche Lösung
Die Münze muss mindestens 7 mal geworfen werden, um mit einer Sicherheit von mindestens 99% mindestens einmal Kopf zu erhalten.
Wie oft muss man würfeln bis eine 6 kommt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens?Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man nach mehrmaligem Ausführen des Versuchs mindestens einen Treffer hat.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 5 würfeln mindestens eine 6 zu würfeln?Die Antwort lautet: 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216 = 0,00462...
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Wie oft muss man mindestens Würfeln damit mit mindestens 95 Wahrscheinlichkeit?
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