Wie kann man mit dem Umfang einer Kugel den Radius berechnen?

Beschäftigen Sie sich gerade mit verschiedenen Körpern und versuchen, bestimmte Größen, wie z. B. Radius, Umfang oder Volumen zu berechnen? Vielleicht haben Sie sich auch schon der Kugel zugewendet und sich dabei gefragt, wie sich eigentlich der Kugelumfang berechnen lässt.

Was Sie benötigen:

• Radius der Kugel
• Kreis durch Mittelpunkt
• Kreiszahl Pi

So berechnen Sie den Kugelumfang

Eine Kugel ist ein geometrisches Objekt, das Sie durch Drehung einer Kreislinie um ihren Durchmesser erhalten. Wichtige Kenngrößen der Kugel sind Radius, Durchmesser, Volumen, Oberfläche und Umfang.

• Für die Berechnung des Kugelumfangs müssen Sie sich zunächst einmal überlegen, was überhaupt der Kugelumfang ist.
• Stellen Sie sich vor, Sie legen ein Maßband um die Kugel und messen ihren Umfang. An welcher Stelle erhalten Sie den größten Wert? Den größten Wert für den Kugelumfang erhalten Sie, wenn das Maßband in einer gedanklichen Ebene liegt, die den Kugelmittelpunkt enthält.
• Sie sehen schon, dass für die Ermittlung des Kugelumfangs also eigentlich gar nicht die Kugel an sich maßgeblich ist, sondern der größte Schnittkreis, der den Mittelpunkt enthält.
• Den Umfang eines Kreises kennen Sie aber bereits aus dem zweidimensionalen Fall. Für den Kugelumfang gilt also U = 2 π r.



Unbekannte Kugel, unbekanntes Material - so liegt sie vor Ihnen. Wie kann man die Dichte dieser …

Beispiele für das Berechnen des Umfangs

• Wollen Sie den Kugelumfang berechnen, dann benötigen Sie lediglich eine Angabe, nämlich den Radius. Ist dieser nicht direkt angegeben, so können Sie ihn in der Regel über einen Zwischenschritt berechnen.
• Welchen Kugelumfang besitzt eine Kugel, die einen Radius von 7 cm besitzt?
• Nach Ihren obigen Überlegungen gilt für den Kugelumfang U = 2 π r = 14 cm * π = 43,98 cm.
• Haben Sie lediglich das Volumen einer Kugel gegeben, so können Sie über die Volumenformel den Radius der Kugel bestimmen und diesen hinterher wieder in die Umfangformel einsetzen.
• Angenommen V = 100 cm3. Dann gilt V = 4/3 π r3 <=> r = [(3V/4)/π]1/3 <=> r = (75 cm3/π)1/3 <=> r = 2,88 cm.
• Setzen Sie dies nun in die Umfangsformel ein, dann ergibt sich U = 2 π r = 18,09 cm.

Sie sehen: Die Berechnung des Kugelumfangs ist nicht schwer. Sie benötigen lediglich den Radius dafür.

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Wenn Sie den Umfang einer Kugel berechnen müssen, brauchen Sie deren Durchmesser oder ihren Radius. Wenn Sie diese Größen kennen, ist es leicht, wenn nicht, müssen Sie diese durch Messungen ermitteln. Es gibt verschiedene Methoden.

Was Sie benötigen:

• Messzylinder und Wasser
• Lochblech/Ringgrößenmesser
• Schieblehre
• Taschenrechner

Notwendige Messungen an der Kugel

Es kommt, wenn Sie den Umfang von Kugeln bestimmen wollen, darauf an, welche Messinstrumente Sie zu Verfügung haben und wie groß die Kugeln sind. Bei geeigneter Größe können Sie den Umfang zum Beispiel direkt mit einem Faden oder einem Bandmaß messen:

• Bei kleinen, gleichartigen Kugeln - wie Bleischrot - messen Sie am besten das Volumen, indem Sie eine bestimmte Anzahl von Kugeln einen Messzylinder füllen, in dem zum Beispiel exakt 100 cm³ Wasser sind. Geben Sie nun 100 Kugeln hinein und beobachten Sie, um, wie viel der Wasserspiegel steigt, zum Beispiel auf 125 ml. Dann wissen Sie, dass die Kugeln ein Volumen von 25 cm³ haben, eine Kugel also 0,25 cm³ Volumen hat.
• Größere Kugeln können Sie auch durch Lochbleche messen, sofern der Durchmesser der Löcher bekannt ist. Wenn Sie Löcher eines bekannten Durchmessers haben, die in Millimeterschritten immer größer werden, dann probieren Sie aus, durch welches Loch die Kugel gerade noch fällt.
• Meist wird der Durchmesser einer Kugel mit einer Schieblehre gemessen. Halten Sie die Kugel zwischen die Messbacken und schieben Sie die bewegliche Backe zu der Feststehenden, bis die Kugel dazwischen klemmt. Achten Sie darauf, dass Sie dabei eine weiche Kugel nicht zusammendrücken. Lesen Sie den Durchmesser der Kugel ab.

Nun brauchen Sie, um den Umfang zu bestimmen, nur noch den Zusammenhang zwischen Durchmesser bzw. Volumen und dem Umfang.

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Berechnen vom Umfang

• Wenn Sie den Durchmesser haben, ist es leicht, denn der Umfang einer Kugel ist ein Kreis. Für Kreise gilt U = pi d. Wenn der Taschenrechner keine Taste mit pi hat, dann nehmen Sie den Näherungswert 3,14.
• Wenn Sie das Volumen haben, ist es etwas komplizierter, denn dann müssen Sie den Durchmesser ausrechen. Das Volumen einer Kugel wird nach der Formel V = (1/6) pi d³ bestimmt. Wenn Ihnen also das Volumen bekannt ist, müssen Sie dieses mit 6 multiplizieren und durch pi teilen. Von dem erhaltenen Wert müssen Sie nun die dritte Wurzel ziehen. Dann haben Sie den Durchmesser der Kugel. Sie können nun den Durchmesser ausrechnen und in die Formel für den Umfang einsetzen U = pi d einsetzen.

Alternativ können Sie den Durchmesser d = 3W (6V/pi) in die Formel für den Umfang einsetzen. Sie bekommen dann die allgemeingültige Form U = pi  3W (6V/pi) nach dem Sie den Nenner rational gemacht haben, in dem Sie mit pi² erweitert haben und aus pi3 im Nenner die dritte Wurzel gezogen haben, bekommen Sie U =  3W (6V pi2). Anmerkung: 3W ist dritte Wurzel. Diese kann auch als gebrochene Hochzahl geschrieben werden, dann würde die Formel U = pi  (6V pi2)1/3 lauten.

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