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Grundlagen zum Thema Dreiecksungleichung – ErklärungInhalt
Dreiecksungleichung – MatheDie Höhlenforscherin Diana Johns stürzt sich in ein neues Abenteuer – eine unerforschte Höhle. Da sie zu ihrem Ziel in der Höhle einen Umweg klettern muss, muss sie zunächst herausfinden, ob ihr Seil für diese Strecke ausreicht. Dafür nutzt sie die Dreiecksungleichung. Was eine Dreiecksungleichung ist, erfährst du in diesem Text. Dreiecksungleichung ErklärungWir betrachten zunächst das Dreieck $ABC$. In allen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung. Die Definition der Dreiecksungleichung lautet: Die Summe zweier Seitenlängen eines Dreiecks ist größer als die dritte Seitenlänge. Es gilt also: $a + b > c$ $a + c > b$ $b + c > a$ Überprüfen wir diese Dreiecksungleichung an einem Zahlenbeispiel. Ein Dreieck hat die Seitenlängen: $a = 4 \qquad b = 7 \qquad c = 8$ Ist hier die Dreiecksungleichung wirklich für alle drei Seiten erfüllt? Wir rechnen nach! $ a + b > c : \quad 4 + 7 = 11 \Rightarrow 11 > 8 $ $ b + c > a : \quad 7 + 8 = 15 \Rightarrow 15 > 4$ $ a + c > b : \quad 4 + 8 = 12 \Rightarrow 12 > 7$ Die Dreiecksungleichung ist für alle drei Seiten erfüllt. Dreiecksungleichung anwendenDu kannst die Dreiecksungleichung auch umkehren. Meinst du, dass du aus drei beliebigen Seitenlängen immer ein Dreieck konstruieren kannst? Nein! Wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist, kann das nicht funktionieren. Du musst also immer überprüfen, ob die Summe der beiden kürzeren Seiten größer ist als die längste Seite. Können die folgenden Seiten ein Dreieck bilden? $a = 5 \qquad b = 3 \qquad c = 7$ Ja, denn die Summe der beiden kürzeren Seiten, also $a$ und $b$, entspricht $8$ und ist somit größer als die Seite $c$. Anders sieht es bei dem nächsten Beispiel aus. $a = 10 \qquad b = 3 \qquad c = 4$ Die kürzeren Seiten $b$ und $c$ ergeben in der Summe $7$, welches kleiner ist als $10$. Somit erfüllen diese Seitenlängen nicht die Dreiecksungleichung und können demnach kein Dreieck bilden. Dreiecksungleichung – ZusammenfassungDie folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zur Dreiecksungleichung noch einmal zusammen.
Willst du nun die Dreiecksungleichung an weiteren Beispielen üben? Hier auf der Seite findest du weitere Aufgaben und Übungen zur Dreiecksungleichung.
Transkript Dreiecksungleichung – ErklärungDie Forscherin Diana Jones stürzt sich in ein neues Abenteuer. Eine unerforschte Höhle! Du fragst dich, was es in dieser Höhle wohl Spannendes zu entdecken gibt? Na dann Stirnlampe an und erster Höhlencheck! Ohhh da glitzert ja etwas! Da muss Diana hin! Es ist zwar ganz schön weit weg, aber SO weit sollte ihr Sicherungsseil gerade noch reichen. Sie muss nur entlang der kürzesten Entfernung, also HIER ENTLANG klettern. Aber beim Klettern nicht vergessen: immer den Sicherungshaken einschlagen! Oh... so ein Mist! Aber für Diana ist nichts unmöglich..oder vielleicht doch? Kann sie mit ihrem Seil auch um das Loch herum, also hier entlang, zu ihrem Ziel gelangen? Ob die Seillänge für diesen Weg reicht, finden wir mit der Dreiecksungleichung heraus. Wir betrachten das Dreieck ABC. Das funkelnde Etwas liegt im Punkt C. Der ursprüngliche Weg, für den das Seil gerade so gereicht hätte, entspricht der Seitenlänge b. Aber aufgrund der eingebrochenen Höhlenwand muss Diana nun entlang dieses Weges klettern. Diese Entfernung entspricht der Summe aus den Längen der Seiten c und a. Reicht hierfür die Seillänge ebenfalls aus? Nein, denn in allen Dreiecken gilt immer die Dreiecksungleichung. Diese besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen eines Dreiecks größer ist als die übrig bleibende dritte Seitenlänge - also ist auch "a plus c größer als b". Ebenso ist auch "a plus b größer als c" sowie "b plus c größer als a". Die Summer zweier Seitenlängen ist immer größer als die übrige Seite. Überprüfen wir die Dreiecksungleichung doch mal an einem Zahlenbeispiel. Ein Dreieck hat die Seitenlängen a gleich 4, b gleich 7 und c gleich 8. Ist hier die Dreiecksungleichung wirklich für alle drei Seiten erfüllt? Die Summe aus den Seitenlängen a und b ist 11 - also größer als c gleich 8. Genauso ist 7 plus 8 größer als 4 und 8 plus 4 größer als 7. Diese Ungleichung kannst du aber auch umkehren. Meinst du, man kann aus drei beliebigen Seitenlängen immer ein Dreieck konstruieren? Nein – wenn die Dreiecksungleichung NICHT erfüllt ist, kann das nicht funktionieren. Du musst also überprüfen, ob die Summe der beiden kürzeren Seiten größer ist als die längste Seite. Können die Seiten a gleich 5, b gleich 3 und c gleich 7 ein Dreieck bilden? Ja, denn die Summe der beiden kürzeren Seiten a und b entspricht 8 und diese ist größer als 7. Die beiden anderen Kombinationen sind dann immer erfüllt: 7 und 5 ist größer als 3 und 7 plus 3 ist größer als 5. Anders ist es, wenn die Seiten a gleich 10, b gleich 3 und c gleich 4 gegeben sind. Hier ist die Summe der beiden kürzeren Seiten gleich 3 und 4 kleiner als 10. Somit erfüllen diese Seiten nicht die Dreiecksungleichung und können demnach kein Dreieck bilden. Also: die Zusammenfassung zum Thema Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks stets größer ist als die übrige dritte Seite. Sie gilt ausnahmslos für alle beliebigen Dreiecke. Du kannst mit ihr also auch überprüfen, ob drei gegebene Seitenlängen ein Dreieck bilden können. Hierzu muss die Summe der beiden kürzeren Seiten größer sein als die längste Seite. Ist sie nicht größer, sondern genauso groß wie die längste Seite, dann wird das Dreieck aus den drei Seiten zu einer Strecke. Aber nun Schluss mit der Theorie – ob Diana ihr Ziel erreicht hat? Das Seil reicht einfach nicht! Was ist das? Jetzt wird Dianas Aufenthalt ungleich gruseliger. Dreiecksungleichung – Erklärung ÜbungDu möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecksungleichung – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
Woher weiß ich ob ich ein Dreieck konstruieren kann?Wenn zwei Seiten und der,der längeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben ist, ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
Was muss für die längste Seite gelten damit sich ein Dreieck aus drei Seitenlängen konstruieren lässt?Wenn die drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben sind, so lässt sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren (SSS). Es muss gelten, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein muss. Sei zum Beispiel c c c die längste Seite, so muss c < a + b c\lt a+b c<a+b gelten.
Wann kann man ein Dreieck nicht konstruieren?Sind zwei Seiten zusammen kleiner oder gleich groß wie die 3. Seite, so lässt sich das Dreieck nicht konstruieren. In einem Dreieck muss die Summe zweier Seitenlängen immer größer als die 3.
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