Du sitzt an Deinen Hausaufgaben und sollst alle Wendepunkte der folgenden Funktion bestimmen. Show
Ratlos suchst Du im Internet nach Unterstützung. Erleichtert seufzt Du auf, denn Du triffst auf diese Erklärung. Deine Hausaufgaben sind gerettet. Kurvendiskussion – Wendepunkte einer Funktion berechnenWendepunkte sind Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion verändert. Existiert ein Wendepunkt mit , dann wird der x-Wert dieses Punktes auch Wendestelle genannt. Der y-Wert dieses Punktes wird auch Wendewert genannt. Doch welche Kriterien müssen für einen Wendepunkt erfüllt sein? Wendepunkt berechnen – Notwendige BedingungUm die notwendige Bedingung zu überprüfen, wird die zweite Ableitung einer Funktion gebildet. Für die zweite Ableitung einer Funktion an der Stelle gilt als notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt: Überprüfe die notwendige Bedingung an dem Eingangsbeispiel. Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion mit . Dafür wird zuerst die erste und zweite Ableitung benötigt. Setze nun die zweite Ableitung gleich 0. Die notwendige Bedingung ist also für und erfüllt. Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle eine Wendestelle existiert. Wendepunkt berechnen – Hinreichende BedingungZusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein. An dieser Stelle wird der Wendepunkt unabhängig von seiner Steigung betrachtet. Dies wird an späterer Stelle ausführlich behandelt. Für die dritte Ableitung einer Funktion an der Stelle gilt als hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt: Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Wendepunktes ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel vor, dann existiert an dieser Stelle ein Wendepunkt. Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist. Überprüfe jetzt auch die hinreichende Bedingung für das Eingangsbeispiel. Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion mit . Dafür wird die dritte Ableitung benötigt. Nun kannst Du und in die dritte Ableitung einsetzen. Dementsprechend existieren an den Stellen und Wendepunkte. Da die Bedingung, dass für einen Wendepunkt sein muss, nur hinreichend ist, kann es sein, dass es vorkommt, dass ist. Sonderfall SattelpunktDoch was passiert, wenn die dritte Ableitung ist? In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Wendepunkt vorliegt. Hierfür wird dann zusätzlich die erste Ableitung an der Stelle betrachtet. Damit Du eine bessere Vorstellung von einem Sattelpunkt bekommst, kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen. Abbildung 1: Graph eines Sattelpunktes Schau Dir jetzt das Ganze noch einmal mathematisch formuliert an. Wenn für die Stelle gilt, existiert ein Sattelpunkt. Achtung! Fälschlicherweise wird der Sattelpunkt oftmals als Extrempunkt interpretiert. Der Sattelpunkt ist aber ein Wendepunkt und KEIN Extrempunkt. Das beste Beispiel für einen Sattelpunkt ist die Funktion . Das Schaubild der Funktion mit sieht folgendermaßen aus:
Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei einen Sattelpunkt besitzt. Bilde zunächst die erste, zweite und dritte Ableitung. Wende als Nächstes das notwendige Kriterium an. Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden. In diesem Fall ist auch die dritte Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, die erste Ableitung an der Stelle zu betrachten. Damit sind alle drei Bedingungen für einen Sattelpunkt erfüllt und es handelt sich demnach um einen Wendepunkt, genauer gesagt Sattelpunkt, an der Stelle . Steigung im Wendepunkt berechnen – Rechts-Links-WendepunktBei Wendepunkten kann noch zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung unterschieden werden. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wird auch Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) und ein Wendepunkt mit negativer Steigung wird auch Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) genannt. Die Bezeichnungen kommen daher, weil ein RLW von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung führt - bei einem LRW ist es umgekehrt. Um den Unterschied von einem LRW und einem RLW zu erkennen, schau Dir dazu ein kurzes Beispiel an. Doch was bedeutet der LRW und der RLW für das hinreichende Kriterium? Für die zweite Ableitung einer Funktion an der Stelle gilt als hinreichendes Kriterium für... ... einen Links-Rechts-Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung: ... einen Rechts-Links-Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung: Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines LRW oder RLW ist die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle . Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein LRW. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein RLW. Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der dritten Ableitung deutlich aufwendiger ist. Auch in diesem Fall kannst Du Dir wieder das Eingangsbeispiel anschauen. Es wurde bereits herausgefunden, dass die Funktion mit zwei Wendepunkte in den Stellen und besitzt. Zusätzlich wurde bereits die Werte der dritten Ableitung an diesen Stellen berechnet. Damit existiert an der Stelle ein Wendepunkt (LRW) mit positiver Steigung und an der Stelle ein Wendepunkt (RLW) mit negativer Steigung. Ein Sattelpunkt hat immer die Steigung 0 und somit weder eine positive noch eine negative Steigung. Zusätzlich kann er sowohl von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen oder umgekehrt. Wendepunkt – x- und y-Wert berechnenDa Du nun bereits das notwendige und hinreichende Kriterium für Wendestellen kennst, kannst Du Dich an folgendem Rezept orientieren, um Wendepunkte zu berechnen.
Schritt 2 und 3 können mehrmals durchgeführt werden, wenn die Funktion mehrere Wendepunkte besitzt. Wendepunkt berechnen – AufgabeBeim Eingangsbeispiel fehlen jetzt noch die passenden y-Werte zu den Wendestellen. Dazu werden die Wendestellen und in die Funktion mit eingesetzt. \begin{array}{rlcrl}f(-3)&=\frac{1}{12} \cdot (-3)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 - \frac{3}{2} \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) & \text {und} & f(1)&=\frac{1}{12} \cdot 1^4+ \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \\ &=\frac{1}{12} \cdot 81+ \frac{1}{3} \cdot (-27) - \frac{3}{2} \cdot 9 - 2 \cdot (-3) & & &=\frac{1}{12}+ \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 \\ &=\frac{27}{4} -9 - \frac{27}{2} +6 & & &=- \frac{37}{12} \approx -3,08 \\ &=-\frac{39}{4} \approx -9,75 & & &\\\end{array} Damit existiert ein Links-Rechts-Wendepunkt und ein Rechts-Links-Wendepunkt .
Super, jetzt hast Du Deine Hausaufgaben gelöst. Wendepunkt berechnen – Das Wichtigste
Was ist wenn die hinreichende Bedingung gleich 0 ist Wendepunkt?Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes an der Stelle x0 (dem ¨Ubergang von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt) ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente an den Graphen von f/ an dieser Stelle, d.h. f//(x0) = 0.
Was ist wenn der Wendepunkt 0 ist?Wenn f'''(x) > 0, dann ist bei x eine Rechts-Links-Wendestelle und wenn f'''(x) < 0, dann ist x eine Links-Rechts-Wendestelle.
Was macht man bei der hinreichenden Bedingung?Für einen Hochpunkt ist die zweite Ableitung immer negativ, für einen Tiefpunkt immer positiv. Zusammen gefasst ergibt sich als hinreichende Bedingung, dass die zweite Ableitung nicht Null sein darf.
Was ist die hinreichende Bedingung für Wendepunkte?Eine hinreichende Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung null wird und die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist.
|
Was ist wenn die hinreichende bedingung gleich 0 ist
zusammenhängende Posts
Urheberrechte © © 2024 decemle Inc.
