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Was ist eine Matrix?Ein solches rechteckiges Schema $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \\ \end{pmatrix}$ heißt Matrix. Dabei ist $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten dieser Matrix. Entsprechend dieser Anzahlen ist die Ordnung der Matrix definiert. Die obige Matrix ist eine $[m\times n]$-Matrix. Spezielle Matrizen
$\quad~~~D=\begin{pmatrix} a_{11}&0&\dots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&0 \\ 0&\dots&0&a_{nn} \\ \end{pmatrix}$
$\quad~~~I=\begin{pmatrix} 1&0&\dots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&0 \\ 0&\dots&0&1 \\ \end{pmatrix}$
$\quad~~~D=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n} \\ 0&a_{22}&\dots&a_{2n} \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&\dots&0&a_{nn} \\ \end{pmatrix}$
Rechnen mit MatrizenDie Addition von MatrizenDie Addition von Matrizen ist nur definiert, wenn diese von der gleichen Ordnung sind. Hierfür addierst du die einander entsprechenden Einträge der Matrizen. Schaue dir hierfür ein Beispiel an: $\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2&3+3 \\ -1+1&2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&6 \\ 0&3 \end{pmatrix}$ Die Multiplikation einer Matrix mit einem SkalarDu kannst eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren, indem du jeden Eintrag der Matrix mit dem Skalar multiplizierst: $\quad~~~3\cdot \begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot -1& 3 \cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&9 \\ -3&6 \end{pmatrix}$ Die Multiplikation von MatrizenUm zwei Matrizen $A$ und $B$ miteinander zu multiplizieren, multiplizierst du jeden Zeilenvektor der linken Matrix mit jedem Spaltenvektor der rechten. Das bedeutet, dass die linke Matrix genauso viele Spalten haben muss wie die rechte Zeilen. Die Multiplikation von Matrizen ($A\cdot B$) ist also nur definiert, wenn $A$ eine $[m\times n]$- und $B$ eine $[n\times k]$-Matrix ist. Die Ergebnismatrix $C=A\cdot B$ ist eine $[m\times k]$-Matrix. Das hört sich jetzt vielleicht recht kompliziert an. Wir üben dies einmal an einem Beispiel. Es wird eine $[2\times 3]$-Matrix mit einer $[3\times 4]$-Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist eine $[2\times 4]$-Matrix. $\quad~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3&-1&-1 \\ -1&2&3&2 \\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}$ Wir schauen uns erst einmal an, wie das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte der Ergebnismatrix berechnet werden kann.
$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}= 2\cdot 1+3\cdot (-1)+(-2)\cdot 0=-1$ Ebenso können die übrigen Einträge in der ersten Zeile der Produktmatrix berechnet werden.
$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot 3+3\cdot 2+(-2)\cdot 1=10$
$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}= 2\cdot (-1)+3\cdot 3+(-2)\cdot (-1)=9$
$\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= 2\cdot (-1)+3\cdot 2+(-2)\cdot 2=0$ Damit ist die erste Zeile der Produktmatrix berechnet. Ebenso kannst du die zweite Zeile berechnen. Das Ergebnis siehst du hier: $\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3&-2 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3&-1&-1 \\ -1&2&3&2 \\ 0&1&-1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&10&9&0 \\ 0&7&0&5 \end{pmatrix}$ Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativWenn die Matrixmultiplikation kommutativ wäre, dann müsste $A\cdot B=B\cdot A$ gelten. Die Multiplikation allgemeiner MatrizenDa die Multiplikation zweier Matrizen ($A\cdot B$) nur dann definiert ist, wenn die Spaltenzahl von $A$ der Zeilenzahl von $B$ entspricht, kann zum Beispiel bei dem obigen Beispiel die Reihenfolge nicht vertauscht werden. Die Multiplikation quadratischer MatrizenWenn überhaupt, dann kann die Matrixmultiplikation nur kommutativ sein, wenn beide Matrizen quadratisch sind und die gleiche Ordnung besitzen. Schauen wir uns auch hierfür ein Beispiel an: $\quad~~~\begin{pmatrix} 2&3 \\\ 1&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&3 \\\ -1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&12 \\\ 0&5 \end{pmatrix},$ jedoch ist $\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3 \\\ -1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2&3 \\\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5&6 \\\ 0&1 \end{pmatrix}$. Du siehst, auch die Multiplikation von quadratischen Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Die Multiplikation von DiagonalmatrizenDie Matrixmultiplikation ist nur dann kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen sind. Dies kannst du hier für $[2\times 2]$-Matrizen sehen: $\quad~~~\begin{pmatrix} a&0 \\\ 0&b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c&0 \\\ 0&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac&0 \\\ 0&bd \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c&0 \\\ 0&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a&0 \\\ 0&b \end{pmatrix}$. Die Multiplikation mit der EinheitsmatrixDie Multiplikation einer beliebigen $[m\times m]$-Matrix mit der $[m\times m]$-Einheitsmatrix oder einem Vielfachen dieser Einheitsmatrix ist ebenfalls kommutativ. Die Multiplikation einer Matrix mit einem VektorDu kannst auch eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren. Hierfür muss die Spaltenzahl der Matrix übereinstimmen mit der Anzahl der Koordinaten des Vektors. Allgemein kann dies so geschrieben werden: Wenn $A$ eine $[m\times n]$-Matrix und $\vec v$ ein Vektor mit $n$ Koordinaten sind, dann ist das Ergebnis wiederum ein Vektor $\vec w$. Dieser hat $m$ Koordinaten: $A\cdot \vec v=\vec w$. Auch dies kannst du dir an einem Beispiel klarmachen. Die Multiplikation führst du ebenso durch wie bei der Matrixmultiplikation. $\quad~~~\begin{pmatrix} 1&3&1&2 \\\ -1&2&0&3\\\ 2&3&1&-1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\\ -2\\\ 1\\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\\ 4\\\ -6 \end{pmatrix}$ Wann können 2 Matrizen multipliziert werden?ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
Ist die Nullmatrix Indefinit?sowohl positive als auch negative Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit. . Da alle Eigenwerte größer Null sind, ist die Matrix positiv definit.
Wann sind zwei Matrizen kommutativ?Die Matrixmultiplikation ist nur dann kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen sind.
Welchen Rang hat die Nullmatrix?Die Determinante und der Rang einer Nullmatrix sind immer 0.
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