Beweis 0 9 periode gleich 1

von Alexander Sittig · Veröffentlicht 14. Februar 2021 · Aktualisiert 12. Juni 2022

Fordere Deine Freunde mit diesem Rätsel heraus!

0,9999... bzw. 0,\bar{9} („Null Komma Periode neun“) ist schon ein merkwürdiges Konstrukt, denn hinter dem Komma befinden sich unendlich viele 9en.

Da es jedoch nur 0,999…. sind (und eben nicht 1,000…), müsste dann nicht eigentlich immer ein klitzekleiner Abstand zur 1 bleiben?

Ist 0,\bar{9}=1?

(Und zwar genau 1)

Lösung

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0,9 Periode ist exakt 1.
Das folgt aus einer Grenzwertbetrachtung.
im Prinzip hat das schon S.A.P. gezeigt

Grenzwerte behandelt man in der 11. Klasse
Beim 12 jährigen Schulgang wahrscheinlich schon in der 10. Klasse

unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge der Form
1
q^1
q^2
.
.
.
q^n
aufsummiert ergibt dies
s=1+q^1+q^2+q^3+...+q^n
q ist dabei eine beliebige Basis
^steht für hoch
wenn ich diese Summe mit q multipliziere, so erhalte ich
qs=q+q^2+q^3+...+q^(n+1)
Jetzt subtrahiere ich die einfache Summe von der q-fachen Summe und erhalte

qs-s=(q+q^2+q^3+...+q^(n+1) )-(1+q+q^2+q^3+...+q^n)
=q^(n+1)-1
nach s umgeformt ergibt dies
s=(q^(n+1)-1)/(q-1)

Wenn ich z.B die Summe aus
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5
errechnen will, so setze ich in die Formel s=(q^(n+1)-1)/(q-1) einfach q=2 und n=5 ein
s=(2^6-1)/1=63
Diese Formel hat einen Vorteil, wenn z.B so eine Reihe aus 100 Gliedern besteht, weil dann wäre es sehr mühsam, jedes einzelne Glied zu berechnen.
Auch wenn man etwas beweisen will, kann so eine Formel nützlich sein.
Nun ist 0,999999...=0,9+0,09+0,009+...=9*(0,1+0,01+0,001+...)
Diese Reihe kann ich mit Hilfe der geometrischen Reihe konstruieren
Ich wähle als Basis q=0,1
Dann erhalte ich
s=1+0,1+0,01+0,001+...
hier muss ich 1 subtrahieren damit die beiden Reihe äquivalent zueinander sind
s-1=0,1+0,01+0,001+...=(0,1^(n+1)-1)/(0,1-1)-1=(1-0,1^(n+1))/0,9)-1
Die Formel berechnet jetzt die Zahl 0,999... auf n Nachkommastellen genau
Die Zahl 0,999... hat allerdings unendlich viele Nachkommastellen. Ich muss also den Grenzwert bilden in dem ich n gegen unendlich laufen lasse
Nur der Ausdruck (0,1)^(n+1) enthält ein n.
Man hat also eine Potenz mit einer Basis zwischen 0 und 1 vorliegen. Wenn der Exponent bei solch einer Potenz gegen unendlich strebt so geht die Potenz gegen 0.
Es ist z.B
0,1=0,1
0,1*0,1=0,01
0,1*0,1*0,1=0,001
Die Folge wird immer kleiner
Genauere mathematische Grenzwertuntersuchungen lass ich hier weg. In der Oberstufe behandelt man das auch nur nebenbei
Ich setze jetzt mal ganz naiv (0,1)^(n+1)=0

Dann folgt (1-0,1^(n+1))/0,9)-1=1/0,9-1=1/9
für n gegen unendlich
Nun hieß der gesamte Ausdruck allerdings 9*(0,1+0,01+0,001+...)=9*1/9=1

Edit:
@Zitrone
Das liegt daran, dass der Taschenrechner mit gerundeten werten rechnet. Auch ein taschenrechner kann nicht mit unendlich Nachkommastellen rechnen
wenn du 0,999...*2 rechnest, so ist das ergebnis 2 exakt
das ergebnis 1,999999998 vom Taschenrechner dagegen basiert auf einen kleinen Rundungsfehler.

@S.A.P
man kann keine Meinung dazu haben, sondern es handelt sich um eine Tatsache, dass 0,9Periode=1 gilt

Hey Leute,

warum ist 0,9 periode das gleiche wie 1?

Kann mir das bitte jemand erklären?

Aber bitte einfach!

(Bin Schüler)

10 Antworten

Es gibt viele Beweise hierzu. Ich kann mir beispielsweise vorstellen, dass 0 Komma Periode 9 niemals 1 erreichen wird, egal, wie viele Nachkommastellen es gibt. Bei 0 Komma Periode 9 gibt es jedoch unendlich viele Nachkommastellen, wodurch es sich ausgleichen würde. Eine endliche Anzahl an Nachkommastellen wird niemals ausreichen, um auf 1 zu kommen, akso gibt es unendlich.

Behauptung:

Beweis:

Sei

q.e.d.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Universität Helmstedt, TU Braunschweig, GAU Göttingen

Junior Usermod

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Mathematik, Mathe

Hallo,

wandle 0,999... in einen echten Bruch um.

0,999...*10=9,999...

Wenn Du von 9,999... 0,999... abziehst, bleiben genau 9 übrig.

Diese 9 müssen also 10*0,999...-1*0,999...=9*0,999... sein.

Wenn aber gilt: 9*0,999...=9 und Du beide Seiten durch 9 teilst, bleibt als Ergebnis übrig: 0,999...=1.

Herzliche Grüße,

Willy

⅓ = 0,3 periode

⅔ = 0,6 periode

Drei Drittel = 1

Drei Drittel = 0,9 periode

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Mathematik, Mathe

Die sind gleich, denn:

1/3 = 0.333... |*3

1=0.999...

Außerdem kannst du keine Zahl finden, die zwischen den beiden Zahlen liegt, weswegen sie identisch sein müssen

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathe Studium mit Nebenfach Informatik (6. Semester)

Was möchtest Du wissen?

Ist 0 9 periodisch gleich 1?

Was ist 0.9 Periode als Bruch?

Warum 1 gleich 2 ist?

Ist eine Periode unendlich?