Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnisproblem zur Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9 Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das 1 Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_
kleiner Mein Papa hat mir folgendes erklärt: x = 0,9 periodisch, Dann werden die Gleichungen substrahiert: 10x = 9,9 periodisch => 1 = 0,9 periodisch Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem Cornelia Post by Cornelia 0.9 periodisch ist gleich 9*10^-1+9*10^-2+9*10^-3+.... Wenn du das schaffts, dir das gedanklich vorzustellen, darfst du dich mit Christian Post by Christian S Das macht man ab der 9. Klasse? Wieso war ich nicht auf so einer Schule!? Post by Christian S Auf welchem Planeten? Bei mir (NRW) gab's das damals erst in den Jahrgangsstufen 12 und 13. Post by Christian S Post by Cornelia 0.9 periodisch ist gleich 9*10^-1+9*10^-2+9*10^-3+.... Der Gedankensprung ist eher erstmal die Einsicht, dass die |N \times {0,...,9}^|N \to \RR, (d, x_1, x_2, x_3, ...)_{k \in \ZZ} |-> 10^d * 0.x_1x_2x_3.. mit 0.x_1x_2x_3.. := lim_{n \to \oo} 0.x_1x_2..x_n zwar wohldefiniert ist und auch surjektiv, aber nicht Post by Christian S Nu hat das aber reichlich wenig mit Diff/Intrechnung zu tun, Best, Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnis- Hallo Cornelia, die Frage "warum" ist gut.
Deinen Papa kannst Du schön von Du suchst ja auch nicht eigentlich eine Antwort auf das Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner Sagen wir mal so: "0,9 periodisch" ist ein Ausdruck, den Dabei ist der Ausdruck selbst das eigentliche Geheimnis. 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 usw. annähert. Die Mathematik widmet der Betrachtung von Zahlen- s_1 = 0,9 s_2 = s_1 + 0,09 s_3 = s_2 + 0,009 usw. spricht man auch von einer "konvergenten Reihe", die man auch oo Summenzeichen, dem man die Grenzen 1 und Unendlich(!) mitgibt. Dein Appetit auf "Unendlich" wird eher gestillt dadurch, dass Du Das Standardbeispiel, das viel weiter führt beim Nachdenken über oo Gott segne Dich Cornelia schrieb in Nachricht <news:***@usenet04.wrgym.uni.cc>... Hallo Cornelia Post by Cornelia Ja, OK Post by Cornelia Nö, da ist keiner ... wirklich nicht ... oder anders: Der _unendlich kleine_ Post by Cornelia Ja, OK Post by Cornelia Nö, da ist kein Gedankenfehler, die Gleichung ist richtig. Das mit dem Vorstellen Mathematisch ist 0,9p eine andere Schreibweise für die sog. geometrische Grüße Post by Cornelia Das sind doch eine Reihe guter Gründe, und weiter unter kommen noch mehr, Post by Cornelia Jeder unendliche Dezimalbruch ist, auf endlich viele Stellen abgekürzt, Post by Cornelia Richtige Mathematiker würden sagen: auf die Vorstellung kommts nicht an, Hier aber spielt einem eigentlich die Vorstellung keinen Streich. Der Wert Post by Cornelia Hier spielt dir die Vorstellung doch einen Streich. Unter "unendlich" kann Ein paar andere Unendlichkeitsbegriffe gibt es auch noch: eine Menge ist Wer "unendlich" sagt, ohne es zu definieren, verlässt sich auf die Im
übrigen ist es *meistens* kein Fehler, sich unter etwas unendlich Helmut Richter Die Wahrheit ist also die: 0,999... *ist* nicht
1. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure
Usenet News==---- Post by Gastfreund aus Korinth Kennt Ihr das Gesetz von Murphy? Jetzt hat man festgestellt, dass dass das Gesetz Rainer Rosenthal Post by Gastfreund aus Korinth Wenn du dir schon keine Korinthen kaufst, dann mach sie dir wenigstens Nun weiß man, daß die Schreibweise 0,a_1 a_2 a_3 etc. (für a_i=0,...,9) nichts n und im Fall 0,99999... ist dieser bekannterweise gleich 1. klaus Post by
Gastfreund aus Korinth Das ist falsch! "ist" bedeutet hier "ist identisch mit", d.h. derjenige mathematische 0,999... und 1 'sind' (der Plural ist bei *einem* Gegenstand Besser gesagt, "0,999..." und "1" sind
verschiedene Namen von ein und Gruss Post by Gastfreund aus Korinth Damit dieses dauernde 'Definieren' nicht missverstanden wird: Man definierte, was
eine Reihe ist. Man definierte, was man unter einer konvergenten Reihe versteht. Und man definierte, was man unter dem Grenzwert einer konvergenten Benno Post by Cornelia Die Frage ist dann, was ein "unendlich kleiner Unterschied ist". Wenn wir diese Zahl in den rellen Zahlen suchen, und z.b. als p>0 Gruß, Uwe. -- Post by Uwe Schmitt Na doch, ist insofern konstruktiv, als es zeigt, dass eine Solches wäre aber noch Internet-historisch auszufeilen ... Gruss, Hallo Cornelia, es gab ja schon einige postings, darunter auch wirklich gute (egal für Du schriebst: [...] Post by Cornelia Hier musst Du Dich fragen, ob das stimmt. Wenn es einen Unterschied gibt, Du wirst wohl mit mir einer Meinung sein, dass 0,[9] unmöglich größer sein Und jetzt kommt Hermann: Der sagt, der Unterschied sei Null. Kannst Du Dir Post by Cornelia Nein. Obwohl da schon mehr Mathematik hintersteckt, als Schüler i.a. in der Gib Dich nie mit der ersten Stufe zufrieden. Frage immer (!) nach der Übrigens ist die Antwort nach dem "Warum" Deiner Frage keineswegs einfach. So, ich hoffe Dich nicht völlig verwirrt zu haben und wünsche (nicht nur Mfg Michael Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise f(x) = x mit D(x) = [0..1) man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich Ist denn das Problem nicht genau von der selben Art? Schöne Grüße, Post by Manfred Hauser Nein, das kann man nicht. Jeder Funktionswert hat immer einen
Abstand Post by Manfred Hauser Nein, beim Problem mit 0,[9] geht es ja gerade darum, dass diese
Zahl Dein Problem ist, dass du schon implizit Konvergenz betrachtest. Grüsse Jens Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise zu Man kann nicht "unendlich nah" ran gehen, sondern *beliebig* *nah*. Das Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich Nein. Das Problem war mathematisch gesehen, was der Grenzwert einer GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- Post by Manfred Hauser Hallo Also ich versuche _mir_ das so zu erklären: 1.) 0,999.. ist nicht dasselbe wie 1 Ich denke das selbe gilt für deine Funktion, nur das es hier keinen Schritt Achtung! Ich behaupte keinesfalls, dass obiges irgendeine math. Wahrheit Über Kommentare zu mathematischen Richtigkeit meiner Aussagen würde ich mich Grüße, __________ oo Cornelia <***@usenet04.wrgym.uni.cc> wrote in news:***@usenet04.wrgym.uni.cc: Hallo Cornelia, zunächst einmal möchte ich Dir zu Deinem
Papa (zumindest in Deine Frage bezieht sich aber auf ein tieferes Verständnis des Warum? Post by
Cornelia Die Gleichung ist vollkommen richtig. Sie stellt das dar, was Post by Cornelia Die Vorstellung hier ist in der Tat schwierig, da unendlich halt so eine - Wie bist Du eigentlich auf die 0,9999999... gekommen? Du könntest Dir ja zum Beispiel überlegt haben "Es gibt 0,3 periodisch - Sind Dir schon andere Bereiche der Mathematik begegnet, wo Du etwas Ich z.B. hatte in Deinem Alter ziemliche
Probleme damit, mir "paralelle - Was würde es "schaden", wenn man 0,9... einfach verbieten würde? Gäbe Viel Spass bei Deinen weiteren Entdeckungen im Reich der Mathematik -
Du Florian Post by Florian Schaudel Diese Vorstellung ist leider nicht nur falsch, sondern auch 'schädlich'. klaus Hallo! Die anderen haben ja schon so einiges geschrieben. Post by Cornelia Hier noch ein paar weitere Beispiele. 1x = 0.[123] 1000x 999x = 123 1y = 15.[1542] 10000y 9999y = 151527 1z =
21.45[37] 10000z 9900z = 212392 Also immer so multiplizieren, dass hinter dem Komma nur noch die Periode Vielleicht hilfts.. Eine sehr einleuchtende Argumentation (die sich übrigens in den Gruss, Post by Georg Wilckens Oder anders ausgedrückt: Wenn die Differenz zweier Zahlen Null ist, so lässt Ich denke, die beiden Ansätze sind sich zu ähnlich, um das eine
ignorieren Mfg Michael Moin! Post by Georg Wilckens Jo, meine Zustimmung. Ist find ich auch das einleuchtendste, obwohl bei Gruß, -- ...Dir ist bekannt dass man bei den rationalen Zahlen Wie argumentierst du belastbar, dass 0.periode9 eine Benno Post by Benno Hartwig Jede periodische Zahl lässt sich mit einer einfachen Vorschrift in Post by Benno Hartwig Yep. Mit der Definition der rationalen Zahlen und der Vereinbarung der Gruss, Post by Cornelia Ich würde sagen es ist einfach Definitionssache. Wahrscheinlich bringt es z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n <= a < z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n a = Summe(n=0 bis oo) zn/g^n Und man hat sich auf die Schreibweise a = z0, z1 z2 z3...zn zu schreiben. Nach dieser Definition
bekommt man zum Beispiel für den Bruch a= 1/2 die Man kann aber auch zeigen, dass es genau eine Folge z'n gibt für gilt: z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n < a <= z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n Diese Definition liefert beispielsweise für den Bruch a=1/2 die Dezimalzahl Gruß Roland Post by Cornelia Ja, also wenn man's krampfhaft genau nehmen will, schon, Das bedeutet dann auch, daß 0,0..1 mehr als nichts wäre. Post by Cornelia Die
beiden Punkte in "0,9..9" stehen ja für eine Wiederholung von Ziffern. Gibt es ein n, so daß gilt n=n-1 ? Gruss Jan Bruns -- Hallo Jan, Jan Bruns schrieb: [...] Post by Jan Bruns Naja, wenn Du mit 0,9... eben "0,Periode 9" meinst, so hat der Post by Jan Bruns Gleicher Fehler, gleiches Argument. Post by Jan Bruns Post by Cornelia Die beiden Punkte in "0,9..9" stehen ja für eine Wiederholung von Ziffern. Du gehst ja konkret von einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen aus Ich glaube, dass dieses Beispiel zum Verständnis
beitragen kann. Es ist Post by Jan Bruns Nein. Zumindest keine Zahl (es reicht da ein Element einer Gruppe zu sein, Mfg Michael Cornelia wrote: Danke für die vielen Antworten. Die meisten habe ich aber nicht verstanden. Post by Cornelia Das brachte mich sehr zum Überlegen: Hermann Kremer: Ich kann mir sehr schwer eine Zahl vorstellen, die aus unendlich
vielen Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist, dann muss der Wenn das ganz falsch ist, dann bitte ich um eine einfache Antwort. Cornelia Hallo Cornelia, Cornelia schrieb: [...] Post by Cornelia [...] Ich persönlich finde, dass sich das schon ganz gut anhört. Mfg Michael Post by Cornelia Nein. Du machst ja etwas ganz anderes. Du vergleichst einen endlichen Was Du zum Verständnis brauchst ist der Begriff des Grenzwerts. Such Dir also einen beliebigen Abstand d. Zähle in d die Nullen nach dem Mit anderen Worten, wenn Du den Dezimalbruch lang genug wählst,
kannst So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind allesamt Grenzwerte. Es Gerd Post by Cornelia Nein. Du machst ja etwas ganz anderes. Du vergleichst einen endlichen Was Du zum Verständnis brauchst, ist der Begriff des Grenzwerts. Such Dir also einen beliebigen Abstand d. Zähle in d die Nullen nach dem Mit anderen Worten, wenn Du den Dezimalbruch lang genug wählst, kannst So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind allesamt Grenzwerte. Es Gerd Post by Gerd Thieme Man sieht es wieder: Wir Lehrer sind Kleingeister. Wenn man die Sache Jetzt müßten wir nur noch die Verantwortlichen überzeugen, damit diese GaK ----== Posted via
Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- Post by Gerd Thieme Hallo Gerd, just in diesen Tagen ist auch in sci.math mal wieder ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ There is another system, besides Robinson's hyperreals, -- Ich möchte für Heranwachsende und nicht allzu Erwachsene das Hier ist ein Link mit kurzer Einführung und Beschreibung. Halt, nein, Kommando zurück! Hier ist es auf Deutsch: Das habe ich gefunden bei: Es könnte vielleicht dem Papa der OP gefallen. Gruss, Hallo, Ich versuche es auch einmal, aber gleich vorweg: was du hier Post by Cornelia Sehr gut, das ist ganz genau der Punkt. An eine Zahl mit, sagen wir, Jetzt gehen wir einmal einen großen Schritt: kannst du dir etwas unter Der wohl wichtigste Schritt ist der Folgende: es gibt einen Grund, daß Jetzt probieren wir mal ein wenig: die Zahl 0,3 - die macht ja kein Das kann man jetzt fortsetzen: die Zahlen 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 Und nun kommt ein weiterer Schritt: bislang haben wir ja nur einen Und zwar beobachten wir das Folgende: es ist nicht nur
3*0,333 "nahe 1/3 - 333/1000 = 1000/3000 - 999/3000 = 1/3000, also ein Dreitausendstel, das ist schon ziemlich klein. Und genau wie Angenommen, wir hätten eine "Zahl" mit unendlich vielen Stellen nach 5,483483483483483... oder 112,155551555515555... oder auch Nehmen wir einmal die erste dieser Zahlen, 5,483483483483483.... Sie 5 Jetzt kommen etwas, das man eigentlich streng "beweisen" müßte, aber Deshalb vereinbaren wir: unter einer Zahl mit unendlich vielen Stellen 112,155551555515555... den Bruch 112 + 15555/99999 und unter 0,9999999999999 den Bruch 0 + 9/9 = 1 zu verstehen. Nochmal, ganz wichtig: wir wußten vorher nur, was Zahlen mit endlich Man kann sich nun
natürlich noch fragen, was wir uns unter einer Zahl Der andere Fall ist, daß die Stellen nach dem Komma sich nie als Grüße, Lukas Post by Cornelia Mann muss sich eben überlegen, was eine so geschrieben Zahl
'ist', Und der Grenzwert von 0,periode9 _ist_ eben 1. Benno Cornelia <for-***@fit-for-spam-04.wrgym.uni.cc> writes: Post by Cornelia Da bist Du nicht alleine mit. Mir faellt das auch schwer. Post by Cornelia Ja, aber eine _unendlich_ kleine Zahl? Man kann Mathematik mit Post by
Cornelia Das ist eine sehr schoene anschauliche Erklaerung, vermutlich Sobald man den Begriff des Grenzwertes einfuehrt, kann man auch Best, ...aber das wird in der Schule nicht Überlege bitte kurz, was deiner Meinung nach denn reelle Zahlen sind. Definiert sind sie aber formal z.B. als "...Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen..."^ oder anschaulicher und dafür nicht ganz exakt Diese Äquivalenzklasse, die der reellen 1 entspricht, wird z.B. Dass euch diese Denkweise noch suspekt vorkam,
rührt eigentlich daher, Benno Post by Cornelia Das ist eine sehr schoene anschauliche Erklaerung,
vermutlich das Beste, Ich habe kein großes Problem mit Dezimalbrüchen. Aber schaue Dir nur Man kann diese Dinge einer Schülerin mit zwölf Jahren eben nicht gut Ich denke, die meisten Lehrer können dies bestätigen. GaK ----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==---- Hallo Cornelia Post by Cornelia Es wurde hier schon gesagt, dass man 1 auf verschiedene Weisen schreiben 1 ist größer als jede der genannten Zahlen, aber ich weiß Bei 1 - 0.periode(9) gehe ich ähnlich vor. Das ist jetzt die größte Gruß Welcher Bruch ist 0 9 Periode?Die Lösung ist einfach: 0,9 Periode ist gleich 1. 0,9P mal 10 gibt 9,9P; minus 0,9P gibt 9; geteilt durch 9 gibt 1.
Warum 1 gleich 2 ist?Laut der Definition der natürlichen Zahlen ist der Nachfolger der Zahl 1 die natürliche Zahl 2, dementsprechend gilt 1'=2. Da nun 2=1'=1+1 gilt, sieht man direkt, das 1+1=2 sein muss.
Ist eine Periode unendlich?Die Periode einer Dezimalzahl mit unendlichen Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern, die sich unendlich oft wiederholt. Als Zeichen für die Periode verwendet man einen waagrechten Strich über den Ziffern, die sich wiederholen.
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0 komma periode 9 gleich 1
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