Was ist ein Kreis? Show
Dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte, die sie einschließt. Auf dieser Seite findet man eine persönliche Auswahl von "Kreisgeschichten". Begriffe am Kreis top Flächeninhalt und Umfang top Erste Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung Am einfachsten ist es, die beiden Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang mit Hilfe der Integralrechnung herzuleiten. Aus Gründen der Symmetrie genügt es, sich auf den Viertelkreis zu beschränken. Seine Funktionsgleichung ist f(x)=sqrt(r²-x²).
Flächeninhalt A Umfang U Zweite Herleitung für den Schulgebrauch Flächeninhalt
Das innere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Seite r und der Höhe h=sqrt(3)/2*r. Der Flächeninhalt ist A2=hr/2=sqrt(3)/4*r². Das äußere Sechseck hat also einen Flächeninhalt von 6A1=2sqrt(3)r², das innere 6A2=(3/2)sqrt(3)r². Der Flächeninhalt des Kreises liegt damit zwischen 2sqrt(3)r² und (3/2)sqrt(3)r² oder 3,46r² und 2,60r². Der Mittelwert ist 3,03r². Das führt zu pi=3,03. Die Methode kann man zu einer echten Intervallschachtelung erweitern, wenn man die Vieleckfolge Dreieck, Sechseck, Zwölfeck, ...untersucht. Dann kann man pi beliebig genau bestimmen. Umfang 1 Mit Hilfe des Sechsecks erhält man die Schranken 6r>U>4sqrt(3) oder 6r>U>6,93r. Das führt zu pi=3,32. Umfang 2 Für den Umfang gibt es noch eine anschauliche Überlegung. Der Flächeninhalt ist A=r(U/2). Daraus folgt U=2A/r=2*pi*r. Dritte (experimentelle) Herleitung Für den Physikunterricht kommen die Formeln A=pi*r² und U=2*pi*r in Klasse 10 zu spät. Schon bei Schülerübungen zur Dichtebestimmung mit Zylindern in Klasse 6 kommt man nicht am Kreis vorbei. Man wiegt ein Quadrat aus Pappe mit bekannter Fläche und schließt dann durch Dreisatzrechnung auf die Masse pro cm². Kreisteile top
Der Kreisausschnitt wird auf meiner Webseite Kreisausschnitt ausführlich besprochen. Der Kreisabschnitt wird von einem Kreisbogen b und einer Sehne s begrenzt. Man erhält den Flächeninhalt, wenn man die Dreiecksfläche vom Flächeninhalt des Kreisausschnittes subtrahiert.
Weitere Kreisteile findet man an anderer Stelle meiner Homepage. Bogenmaßtop
Gradmaß
Bogenmaß Es gibt eine zweite, einfachere Definition des Winkelmaßes.
Die Einheit ist 1m/m für b=1m und r=1m, also ist b/r dimensionslos. Wählt man einen Vollkreis mit dem Radius 1, so ist der Umfang das Bogenmaß eines Winkels mit dem Winkelmaß 360°. Es gilt also 2*pi=360°. Damit deutlich wird, dass auch 2*pi ein Winkelmaß ist, fügt man Radiant oder rad hinzu: 2*pi rad=360°. Daraus folgt 1 rad=180°/pi oder angenähert 1 rad=57,3°. Obwohl das Bogenmaß eine natürliche Einheit ist und auch im internationalen Einheitensystem (SI-System) bevorzugt wird, ist in der Schulmathematik das Gradmaß üblich, solange die Kreislehre noch nicht behandelt wurde.
Zur Definition der Kreislinie top
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der Winkel, die über einem Kreisbogen liegen und gleich sind. Quelle: (1) Seite 126ff. "Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises" Thalessatz
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der rechten Winkel, die über einer Strecke liegen. Kreis des Apollonios
Das führt zum sogenannten Apollonios-Kreis (Apollonios von Perge).
Kreis im kartesischen Koordinatensystem top
Mittelpunktgleichung Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt des Koordinatensystems, so ist xm=0 und ym=0. Die Kreisgleichung lautet dann x²+y²=r². Gleichung zweiten Grades Multipliziert man die Quadrate in der allgemeinen Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r² aus, so erhält man x²+y²-2xmx-2ymy+xm²+ym²-r²=0. Diese Gleichung hat die Form x²+y²+Ax+By+C=0. Es stellt sich die Frage, welche Bedingungen A, B und C erfüllen müssen, damit diese Gleichung einen Kreis darstellt. Zum Beispiel darf A=B=C=0 nicht gelten. Dann ist nämlich x²+y²=0 und nur der Nullpunkt erfüllt die Gleichung. Zunächst einmal formt man die Gleichung zu (x-A/2)²+(y-B/2)²=(A/2)²+(B/2)²-4C um. Nach der allgemeinen Gleichung oben muss der rechte Term (A/2)²+(B/2)²-4C dem Quadrat r² entsprechen. Also muss (A/2)²+(B/2)²-4C>0 oderA²+B²>4C sein. Ergebnis: Die Gleichung zweiten Grades der Form x²+y²+Ax+By+C=0 stellt genau dann einen Kreis dar, wenn A²+B²>4C ist. Quelle: (3) Seite 351ff. Kreis halbieren top
Die grasende Ziege Diese Halbierung ist Gegenstand des bekannten Problems "The grazing goat".
Yin und Yang
Zirkel top
2 Dieses ist ein einfacher Schulzirkel, den ein Lehrer bei den Schülern gerade noch durchgehen lassen kann. 1 Die Spitze ist nur eingeklemmt. Besser wäre es, wenn sie herausnehmbar und so auch in der Länge verstellbar wäre. 2 Die Bleistiftmine wird durch einen Schraubmechanismus festgehalten und kann in der Länge passend verändert werden. 3 Unentbehrlich ist eine Schraube an dieser Stelle. Man muss sie anziehen können, wenn der Zirkel ausleiert, wenn also die Schenkel sich zu leicht bewegen lassen. 4 An diesem Griff fasst man den Zirkel an. Etwas bessere Zirkel haben einen Führungsmechanismus für die Schenkel, so dass das Stäbchen immer in Richtung der Winkelhalbierenden der Schenkel zeigt. 3
Zeichenübungen
Mittelpunkt suchen
Sonst muss man zu je zwei Punktepaaren auf der Kreislinie mindestens zwei Mittelsenkrechte zeichnen. Da ist das Geodreieck mit den symmetrischen Skalen hilfreich. Zur Quadratur des Kreises
top Seit Ferdinand von Lindemann 1882 der Beweis gelang, dass pi eine transzendente Zahl ist, weiß man, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist. Trotzdem liest man immer wieder mal in der Zeitung, dass jemand, der offenbar nicht mit der Theorie vertraut ist, angeblich eine Lösung gefunden und es den studierten Mathematikern gezeigt hat. Ich war der Meinung, dass Ferdinand von Lindemann auf seinem Grabstein voller Stolz nur die Zahl pi als Dezimalzahl mit etlichen Dezimalen einmeißeln ließ. Das ist eine schöne Geschichte, die zu meinem Repertoire als Lehrer gehörte. Ich übernahm sie von einem meiner Lehrer. Sie ist falsch.
Ergänzung Die Schülerin Rebecca fand im Rahmen ihrer Jahresarbeit heraus, dass der mit pi auf dem Grabstein offenbar nicht Lindemann, sondern Ludolph van Ceulen war, wie man auf der Wikipedia-Webseite (URL unten) nachlesen kann. Da habe ich wohl als Schüler nicht aufgepasst, peinlich. Eulenlochtop Haus Nr. 8 ist auch ein altes Haus, doch das Eulenloch ist heute geschlossen. Nr.4 ist ein Neubau von 2005. Der Kreis ist so etwas wie das Zitat eines Eulenlochs. Da war ein sensibler Architekt tätig. Kreis im Internet top Deutsch Hans Henschel Wikipedia Wolfgang Volk Englisch Eric W. Weisstein (MathWorld) Wikipedia youtube
Auf meiner Homepage gibt es an anderen Stellen etliche Informationen zum Kreis. Kreisausschnitt, Kreisteile, Halbkreis, Sehnenviereck, Tangentenviereck, Kreise im Kreis, Arbelos, Gleichdick, Achtkurve, Kugel, Zweikreisfiguren, Salinon Referenzen
top Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite URL meiner Homepage:
© 2006 Jürgen Köller topWie teile ich einen Kreis in 6 gleich große Teile?◦ Dann sticht man mit dem Zirkel irgendwo auf den Kreisrand. ◦ Man markiert dann in beide Richtung neue Stellen auf dem Kreisrand. ◦ Dort sticht man wieder ein und markiert wieder neue Stellen. ◦ Am Ende hat man sechs Markierungen auf dem Kreisrand.
Wie wird ein Kreis Gedrittelt?Zuerst faltet ihr den Kreis einmal zu einem Halbkreis in der Mitte. Dann wird dieser Halbkreis einmal gedrittelt. Dafür schlagt ein Drittel des Halbkreises nach oben und das letzte Drittel nach hinten um.
Wie teilt man einen Kreis in 8 Teile?◦ Teile den Kreis am Anfang in zwei gleich große Stücke. ◦ (Etwas in zwei gleich große Stücke teilen heißt halbieren.) ◦ Jetzt hast du zwei Hälften. Halbiere jede Hälfte noch einmal.
Wie kann man einen Kreis in 10 Teile teilen?◦ Am einfachsten ist es, den Kreis in 10 gleich große Tortentsücke aufzuteilen. ◦ Das Fachwort für die Tortenstückform ist Kreissektor oder Kreisausschnitt. ◦ Zunächst fünftelt man einen Kreis in 5 gleich große Ausschnitte. ◦ Dann halbiert man jeden dieser Ausschnitte.
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