Was bedeuted 0 determinante

3 Antworten

Die Determinante gibt dir eine Art Volumenänderung eines Spates wieder. Ist die Determinante 0 so bedeutet das, dass jedes Volumen aus dem einen Vektorraum auf ein Volumen der Größe Null im anderen abgebildet wird.

Die geschieht, wenn die Spalten (die Bilder das Basisvektoren im ursprünglichen Vektorraum) der quadratischen Matrix nicht unabhängig sind, und so ein n-dimensionaler Spat auf einen niedrig-dimensionaleren Spat abgebildet wird.

Die Abbildung ist dann nicht mehr surjektiv und somit nicht mehr umkehrbar.

In deinem Fall müsstest du einfach zeigen, dass sich eine der 3 Spalten als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

Community-Experte

Mathematik

Man sieht schnell, dass die erste Zeile gleich der Summe der zweiten und der dritten Zeile ist. Die Zeilen sind demnach nicht linear unabhängig, weshalb die Determinante 0 sein muss.

weil die Zeilen nicht linear unabhängig sind

Was möchtest Du wissen?

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Determinanten sind.

• Definition
• Berechnung
• Eigenschaften
• Anwendungen
• Online-Rechner

Erforderliches Vorwissen

• Was ist eine Matrix?

Definition 

Beispiel 1 

Gegeben ist eine quadratische Matrix $A$

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

Die Determinante der Matrix $A$ ist

$$ \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix} $$

Auf den ersten Blick unterscheidet sich eine Determinante nur durch eine andere Schreibweise von einer Matrix. Im Gegensatz zu Matrizen lassen sich Determinanten jedoch berechnen.

Berechnung 

In Abhängigkeit von der Dimension der Determinante gibt es verschiedene Vorgehensweisen bei der Berechnung. Für 2x2 und 3x3 Determinanten gibt es jeweils eine eigene Formel. Für Determinanten, die mehr als 3 Zeilen und Spalten haben, eignen sich der Laplace’sche Entwicklungssatz sowie der Gauß-Algorithmus.

• 2x2 Determinanten berechnen
• 3x3 Determinanten berechnen
• Laplace Entwicklungssatz
• Determinanten berechnen mithilfe des Gauß-Algorithmus

Eigenschaften 

In Worten: Die Determinante einer Matrix und die Determinante ihrer Transponierten sind identisch.

In Worten: Vertauscht man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) einer Matrix, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Vertauscht man drei Zeilen (oder drei Spalten), ändert sich das Vorzeichen nicht.

In Worten: Multipliziert man eine Zeile (oder eine Spalte) der Matrix mit einer Zahl, wird die Determinante auch mit dieser Zahl multipliziert.

In Worten: Die Determinante eines Produktes zweier Matrizen entspricht dem Produkt ihrer Determinanten.

Anwendungen 

• Lineare Gleichungssysteme lösen mithilfe der Cramerschen Regel
• Inverse Matrix berechnen mithilfe der Cramerschen Regel
• Rang einer Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
• Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten

Online-Rechner 

Determinanten online berechnen