Kleinster gemeinsamer Nenner von 7 und 8

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen bestimmen kannst.

• ggT und kgV
• ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung

ggT und kgV

Gemeinsame Teiler von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Teiler der einen als auch Teiler der anderen Zahl sind.Unter den gemeinsamen Teilern ist die größte Zahl der größtegemeinsameTeiler(ggT).

Gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Vielfache der einen als auch Vielfache der anderen Zahl sind.

Unter den gemeinsamen Vielfachen ist die kleinste Zahl das kleinstegemeinsameVielfache(kgV).

Der größte gemeinsame Teiler ist immer größer oder gleich 1, weil 1 jede Zahl teilt. Ist er gleich 1, heißen die Zahlen teilerfremd.Das kleinste gemeinsame Vielfache ist immer kleiner oder gleich dem Produkt der Zahlen, weil das Produkt immer ein gemeinsames Vielfaches ist.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 12 und 32.

ggT(12;32) = ___

ggT bestimmen

ggT(12;32) = 4

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4.

kgV(3;4) = ___

kgV bestimmen

kgV(3;4) = 12

ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegungen können dir besonders bei großen Zahlen helfen, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu finden.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist das Produkt aller Primfaktoren, die in mindestens einer der Zerlegungen vorkommen, jeweils in ihrer höchsten Potenz.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren jeweils in ihrer kleinsten Potenz.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 330 und 324.

kgV(330;324) = ___

kgV bestimmen

kgV(330;324) = 17820

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 660 und 2772.ggT(660;2772) = ___

ggT bestimmen

ggT(660;2772) = 132

Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Wenn du den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen miteinander multiplizierst, dann erhältst du das Produkt dieser beiden Zahlen.

kgV(12;15)·ggT(12;15)=12·15

Kleinstes gemeinsames Vielfaches einfach erklärt

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(00:11)

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von den beiden Zahlen ist.

Beispiel: Die Zahlen 2 und 3 haben als kleinstes gemeinsames Vielfaches die 6. Du kannst hier das kgV leicht ermitteln, weil 6 die kleinste Zahl ist, die gleichzeitig ein Vielfaches von 2 und 3 ist.

Mathematische Schreibweise: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen

Hinweis: Ein kleinster gemeinsamer Vielfacher ist auch die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen geteilt werden kann.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen

Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches brauchst du zum Beispiel, wenn du zwei Brüche vergleichen oder Brüche addieren und subtrahieren sollst.

Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache mit dem Zahlenreihenverfahren oder der Primfaktorzerlegung bestimmen. Wir zeigen es dir direkt am Beispiel.

kgV mit Zahlenreihe bestimmen

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(01:00)

Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches findest du, indem du dir die Zahlenreihen der beiden Zahlen anschaust. Als Beispiel sollst du jetzt für 6 und 8 das kgV berechnen.

• Schritt 1: Bilde für beide Zahlen eine Zahlenreihe, indem du ihre Vielfachen ausrechnest. 

• Schritt 2: Suche Zahlen, die in beiden Zahlenreihen enthalten sind, und markiere sie.

• Schritt 3: Schau dir die Zahlen an, die du gerade markiert hast, und finde die kleinste davon.

• Schritt 4: Die Zahl, die du gerade gefunden hast, ist das kleinste gemeinsame Vielfache. 

Mit den Zahlenreihen bekommst du heraus, dass das kgV von 6 und 8 gleich 24 ist. 24 ist damit der kleinste gemeinsame Nenner.

Beispiel 1

Zuerst sollst du für 6 und 10 das kgV berechnen.  

• 1. Primfaktorzerlegung: Führe für 6 und 10 jeweils die Primfaktorzerlegung durch. 

• 2. einzelne Primfaktoren auswählen: Wähle die Primfaktoren aus, die du für das kleinste gemeinsame Vielfache brauchst. Dafür markierst du alle Primfaktoren, die nur einmal vorkommen. Die musst du immer ins kgV einrechnen. Hier sind das die 3 und die 5.

• 3. doppelte Primfaktoren auswählen: Die 2 kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Trotzdem musst du aber nur eine 2 aus den beiden Primfaktorzerlegungen markieren.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 10 ist 30. Prüf das mit dem Zahlenreihenverfahren nach!

Beispiel 2 

Du musst jetzt für 54 und 63 das kgV berechnen.

• 1. Primfaktorzerlegung berechnen:

• 2. einzelne Primfaktoren auswählen: Die 2 und die 7 kommen nur einmal vor, also brauchst du sie auf jeden Fall. 

• 3. doppelte Primfaktoren auswählen: Die 3 kommt bei der Primfaktorzerlegung von 54 als Dreierpotenz vor, bei 63 als Zweierpotenz. Wie oft musst du jetzt die 3 in die Berechnung des kgV mitnehmen? Du musst immer die Zahl mit der höheren Potenz nehmen, also hier
  
  .

Du siehst also, dass du auch für 54 und 63 das kgV berechnen kannst und ein Ergebnis von 378 bekommst.

kgV und ggT

Außerdem musst du wissen, dass ein kleinstes gemeinsames Vielfaches und ein größter gemeinsamer Teiler, kurz ggT, zusammenhängen

Damit du den Zusammenhang von ggT und kgV in Mathe wirklich verstehst und deine Prüfung bestehst, schau dir auf jeden Fall noch unser Video zum größten gemeinsamen Teiler an! 

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