0 gleich ganze natürliche zahl

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Natürliche Zahlen
Besondere Teilmengen der natürlichen Zahlen
Natürliche Zahlen - Abgeschlossene Operationen
Warum ist 0 keine natürliche Zahl?
Ist 0 die kleinste natürliche Zahl?
Ist 0.5 eine natürliche Zahl?
Was sind ganze und natürliche Zahlen?

Die Menge der Natürlichen Zahlen besteht aus den Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und ist unendlich groß.

Die Menge der Ganzen Zahlen besteht aus den Zahlen {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } und ist ebenfalls unendlich groß.

Folgender Gedankengang: Die Ganzen Zahlen beinhalten sowohl alle natürliche Zahlen, als auch die jeweilige Negative Zahl (und noch die 0).

Frage: Gibt es daher mehr Ganze Zahlen als Natürliche Zahlen? Sind die Ganzen Zahlen "doppelt unendlich"?

Wenn Nein: Wieso nicht?

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Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Betrachtet man nicht nur endliche Mengen, sondern auch unendliche, dann spricht man nicht mehr von "gleich vielen Elementen" oder dass sie "gleich groß" wären, sondern von "gleichmächtig". Bzw die "Mächtigkeit einer Menge" entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl ihrer Elemente. Unendliches kann man nicht zählen, darum muss man hier erst definieren, was mit "gleichmächtig" gemeint ist.

Man definiert: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man mindestens eine Zuordnung zwischen den Elementen von A und B finden kann, sodass weder bei A noch bei B irgendein Element übrigbleibt.
Kürzer: Es muss eine bijektive Abbildung zwischen A und B möglich sein.

Bei deinem Beispiel könnte man es so machen:

1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
5 <-> -2
6 <-> 3
7 <-> -3
8 <-> 4

etc

Es gibt zwischen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } eine Zuordnung, sodass beiderseits kein Element übrigbleibt. Per Definition sind diese Mengen also gleichmächtig. Umgangssprachlich mag man meinetwegen auch sagen "die Mengen sind gleich groß".

sicher hat es mehr ganze zahlen. also natürliche. kennste das diagramm nicht mit dem kreis den N Z Q R ect.. die natürliche Zahlen ist die KLEinste Zahlenmenge die ist gibt. (die grösste sind die komplexen so zur info. also inkl. negative wurzel...)

GUTE Frage :-)

Aber es gibt nur ein unendlich, weil unendlich eben unendlich viel ist... mit der Vorstellung kommst du da nicht weiter. Z.B. schneiden sich auch zwei Geraden in der Unendlichkeit...

Mich würde aber auch eine korrekte mathematische Beschreibung des Problems interessieren. Nennt man so ne Menge dann "dichter" oder wie unterscheidet man das mathematisch?

ja weil du musst ja sozusagen wie du schon sagst die natürlichen zahlen doppelt nehmen

2 x unendlich = unendlich; also nein

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Natürliche Zahlen

Für die natürlichen Zahlen gibt es eine ältere und eine neuere Definition. Da man bis in das 13. Jahrhundert nicht mit der Zahl 0 gerechnet hat galt:

Alte Variante:

Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle positiven, ganzzahligen Zahlen.

N={1,2,3,4,5,6,7, ...}

Man erweiterte die Menge später durch die Zahl 0 und gab diese erweiterte Menge folgendermaßen an:

N0={0,1,2,3,4,5,6,...}

Neue Variante:

Nach der neueren Definition ist die Zahl 0 von Haus aus inkludiert. Man sagt:

Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle nicht negativen ganzen Zahlen (Somit ist auch die Zahl 0 inkludiert).

N0={0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Falls die Menge ohne der Zahl 0 gewünscht ist, schreibt man:

N*={1,2,3,4,5,6,7,...}

Besondere Teilmengen der natürlichen Zahlen

Weiters gibt es einige besonders erwähnenswerte Teilmengen:

Die Menge der natürlichen geraden Zahlen:

NG={0,2,4,6,8,10,12, ...}

Die Menge der natürlichen ungeraden Zahlen:

NU={1,3,5,7,9,11,13, ...}

Die Menge der Primzahlen (alle Zahlen größer 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind):

P={2,3,5,7,11,13,17,19,23, ...}

Natürliche Zahlen - Abgeschlossene Operationen

Bei den natürlichen Zahlen sind die Addition und die Multiplikation abgeschlossene Operationen (Die nachfolgenden Beispiele sollen dies veranschaulichen, sind aber keine vollständigen Beweise! Auf diese wurde aus Gründen der Verständlichkeit verzichtet)

Addition:
Die Summe zweier natürlicher Zahlen ergibt immer eine natürliche Zahl

Multiplikation:
Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ergibt immer eine natürliche Zahl

Nicht abgeschlossene Operationen

Subtraktion:
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muss nicht immer eine natürliche Zahl ergeben

Division:
Der Quotient zweier natürlicher Zahlen muss nicht immer eine natürliche Zahl ergeben

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Warum ist 0 keine natürliche Zahl?

Gelten alle positiven ganzen Zahlen als natürlich Zahlen, gehört die 0 nicht dazu. Gelten alle nicht-negativen ganzen Zahlen, gehört die 0 dazu. Dies ist mathematisch aber nicht eindeutig festgelegt.

Ist 0 die kleinste natürliche Zahl?

Mit anderen Worten: ℕ ist eine unendliche Menge. Es gibt keine größte natürliche Zahl, wohl gibt es aber eine kleinste natürliche Zahl, nämlich 1. Im Folgenden fassen wir die wichtigsten Eigenschaften der natürlichen Zahlen kurz zusammen: 1.)

Ist 0.5 eine natürliche Zahl?

Die natürlichen Zahlen sind alle Zahlen, die du zum Zählen verwendest, also 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Zur Menge der natürlichen Zahlen gehören somit nur positive ganze Zahlen. Negative Zahlen, Brüche und Kommazahlen wie -1, ½ oder 0,5 zählst du nicht dazu.

Was sind ganze und natürliche Zahlen?

4 Fakten über natürliche und ganze Zahlen Die ganze Zahlenmenge ℤ schließt alle Zahlen ein, die keine Nachkommastelle haben: die natürlichen Zahlen, alle negativen Zahlen und die Zahl 0. Die Zahl 0 wird der Menge der ganzen Zahlen zugeordnet.