Der Zylinder
Nun schauen wir uns den Zylinder und seine Bestandteile einmal genauer an.
Aufbau eines Zylinders
Du kannst den Zylinder in Grund-, Deck- und Mantelfläche zerlegen, indem du ihn ausrollst. Probiere es selbst aus!
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Grund- und Deckfläche eines Zylinders berechnen
Die Grund- und Deckfläche sind bei Zylindern immer kreisförmig und gleich groß. Die Berechnung dieser Flächen folgt also den Regeln zur Berechnung der Fläche von Kreisen.
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Formel zur Berechnung der Grund- und Deckfläche eines Zylinders
$A_{Grundfläche} = A_{Deckfläche} = \pi \cdot r^2$
Beispiel
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Wie groß sind Grund- und Deckfläche eines Zylinders, dessen Radius $6~cm$ beträgt?
$A = \pi \cdot (6~cm)^2 = \pi \cdot 36~cm^2 \approx 113,1~cm^2$
Mantelfläche eines Zylinders berechnen
Rollen wir die Mantelfläche ab, erhalten wir ein Rechteck. Die Fläche dieses Rechtecks können wir berechnen, indem wir die Breite mal die Höhe rechnen. Die Breite dieser Fläche entspricht dem Umfang des Kreises der Grund- bzw. Deckfläche. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{Grundfläche} = 2 \cdot \pi \cdot r$
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Mantelfläche eines Zylinders
$A_{Mantelfläche} = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
Für die Berechnung der Mantelfläche benötigst du also immer zwei Angaben: den Radius und die Höhe.
Beispiel
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Wie groß ist die Mantelfläche eines Zylinders, dessen Radius $4~cm$ und dessen Höhe $7~cm$ beträgt?
$A = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2\cdot \pi \cdot 4~cm \cdot 7~\cdot \approx 175,9$
Oberfläche eines Zylinders berechnen
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus den beiden Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und aus der Mantelfläche zusammen. Wir müssen also die Flächen dieser einzelnen Bestandteile miteinander addieren. Da Grund- und Deckfläche gleich sind, können wir diese zusammenfassen.
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Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders
$O = 2\cdot Grundfläche + Mantelfläche = (2\cdot \pi \cdot r^2) + (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)$
Beispiel
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Wie groß ist die Oberfläche eines Zylinders, dessen Radius $2~cm$ und dessen Höhe $5~cm$ beträgt?
$O = (2\cdot \pi \cdot (2~cm)^2) + (2 \cdot \pi \cdot 2~cm \cdot 5~cm) \approx 88~cm^2$
Volumen eines Zylinders berechnen
Das Volumen eines Zylinders errechnet sich aus dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe. Wir ziehen sozusagen die Grundfläche der Höhe entlang einmal durch den kompletten Zylinder.
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Volumenformel eines Zylinders
$V = Grundfläche \cdot Höhe = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Beispiel
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Wie groß ist das Volumen eines Zylinders, dessen Radius $3~cm$ und dessen Höhe $8~cm$ beträgt?
$V = \pi \cdot (3~cm)^2 \cdot 8~cm \approx 226,2$
Nun kannst du Zylinder berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
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(00:11)
Ein Zylinder ist ein kreisrunder geometrischer Körper. Du kannst ihn dir wie ein Rohr vorstellen.
Seine Grundflächeund seine Deckflächesind gleichgroße (kongruente) Kreise, die genau übereinander liegen. Die rechteckige Mantelflächeverbindet die beiden Kreise. Sie steht senkrecht auf der Grundfläche.
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ZylinderWenn du das Volumen (den Rauminhalt) des Zylinders berechnen willst, brauchst du nur eine Zylinder Formel.
Zylinder Formel
V = Grundfläche • Höhe
V = r² • π • h
Dabei benötigst du verschiedene Bausteine, um das Volumen vom Zylinder zu berechnen.
- Radius der Grund- oder Deckfläche: r
- Höhe h
- Kreiszahl π ≈ 3,1415
Wie du dabei genau vorgehst, zeigen wir dir jetzt Schritt für Schritt.
Beispiel 1
Zuerst werden wir das Volumen berechnen vom Zylinder mit Radius
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Volumen Zylinder: Beispiel 1- Schritt 1: Formel aufstellen
- Schritt 2: Angaben einsetzen
- Schritt 3: Ergebnis berechnen
Der Rauminhalt des Zylinders beträgt also
Beispiel 2
Im nächsten Beispiel geht es darum, das Zylindervolumen zu berechnen. Gegeben ist für die Volumenberechnung ein Zylinder mit Radius
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Volumen Zylinder: Beispiel 2- Schritt 1: Angabe umrechnen
- Schritt 2: Formel aufstellen
- Schritt 3: Angaben einsetzen
- Schritt 4: Ergebnis berechnen
Anwendungsbeispiel
im Videozur Stelle im Video springen
(02:27)
Du möchtest ein zylinderförmiges Glas mit Wasser füllen. Das Glas hat einen Durchmesser von
Um diese Frage zu beantworten, musst du das Zylindervolumen aus dem Durchmesser berechnen. Auch diese Volumenberechnung vom Zylinder ist nicht schwer.
- Schritt 1: Radius berechnen. Weil bei diesem Beispiel nur der Durchmesser gegeben ist, musst du zuerst den Radius daraus bestimmen. Dafür teilst du den Durchmesser durch zwei.
- Schritt 2: Formel aufstellen
- Schritt 3: Angaben einsetzen
- Schritt 4: Ergebnis ausrechnen
In das Glas passen also ungefähr 461,81cm³ Wasser.
Volumen Zylinder Liter
Normalerweise wird so ein Volumen aber in Litern angegeben. Dafür musst du das Ergebnis umrechnen.
Das bedeutet, dass du den Zahlenwert aus dem Ergebnis mit 0,001 multiplizieren musst.
Dieses Glas fasst also ein Volumen von 0,46 Litern.
Volumen Zylinder – kurz & knapp
Du berechnest das Zylinder Volumen in drei Schritten:
- Schritt 1: Formel aufstellen.
V = r² · pi · h
- Schritt 2: Angaben für Radius r und Höhe h einsetzen.
- Schritt 3: Ergebnis ausrechnen.
Herleitung Zylinder Volumen Formel
Das Volumen vom Zylinder setzt sich ähnlich zusammen wie das Volumen vom Quader.
Allerdings ist die Grundfläche ein Kreis. Die Formel für die Kreisfläche lautet
Die kannst du für die Grundfläche einsetzen. Insgesamt ergibt sich so die Zylinder Volumen Formel.
Damit geht die Volumenberechnung im Zylinder ganz einfach.
Oberfläche Zylinder
Neben dem Zylinder Volumen gibt es auch eine Formel für die Oberfläche vom Zylinder. In unserem Video zur Oberfläche erklären wir dir mit vielen Beispielen, wie du diese Fläche berechnen kannst. Schau es dir gleich an!