| Hallo ! Wenn man eine quadratische Matrix hat und man möchte sich Gedanken machen, ob diese eine Lösung hat, dann ist es ja wohl erst einmal am einfachsten, wenn man sich die Determinante verschafft. So wie ich es verstanden habe, gilt grundsätzlich: Ist die Determinante ungleich 0, dann hat die Matrix eine Lösung. Interessant finde ich den Fall, dass die Determinante Null ist. Jetzt gibt es ja zwei Möglichkeiten: Entweder die Matrix hat keine Lösung oder eben unendlich viele. Woher weiß ich, welche der beiden Fälle vorliegt ? Gruß Matze Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): |
| Hallo, > dann hat die Matrix eine Lösung. Äh, bitte was? Matrizen haben keine Lösung. Du meinst also Gleichungssysteme der Art Ax⃗=b⃗ mit zu den Vektoren x⃗ und b⃗ passender Matrix. Tatsächlich gilt: Ist det(A)≠0, so ist A invertierbar. (Und dann ist x⃗=A-1b⃗ die eindeutige Lösung des oben genannten Gleichungssystems) Wenn det(A)=0 gilt, dann gibt es eben keine eindeutige Lösung. Und ja, diese absolute Grundlage sollte einem in jeder Grundvorlesung (lineare Algebra oder Mathe I für Nichtmathematiker) beigebracht werden. Du hast also irgendwas verpasst. Mfg Michael |
| Hallo Michael ! Danke für die Hilfe, die keine war. Nochmals meine Frage, jetzt etwas genauer: Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Man möchte nicht feststellen, was die konkrete Lösung des LGS ist, sondern man möchte sich zunächst Gedanken machen, ob es denn überhaupt eine Lösung gibt. Wir erinnern uns: Ein LGS kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Dazu erstellt man aus den Koeffizienten der Unbekannten eine Matrix (also nicht die erweiterte). Zur Erinnerung: Jede Gleichung hat die Form ax1 + bx2 + cx3 =d Die Matrix wird nun derart untersucht, dass ich ihre Determinante errechne (Stichwort Jägerzaun). Wenn ich nun als Determinante meiner Matrix eine Null erhalte, so bedeutet dies, dass die Matrix angeblich keine Lösung liefert, also das LGS nicht lösbar ist.... In manchen Fällen bedeutet es aber auch (wie ich bereits feststellte), dass das LGS in einem solchen Fall auch unendlich viele Lösungen haben kann. In beiden Fällen ist nämlich die Determinante der Matrix =0. Meine Frage ist nun, wie ich nun feststellen kann, welche der beiden Möglichkeiten die Vorliegende ist. Wenn Du mir hierzu Auskunft geben könntest und dafür weniger zu angeblich verpassten Vorlesungen, dann gebührt Dir mein Dank. Viele Grüße von Mathias |
| Im Skriptum steht es kurz und einfach ( Falls die Begriffe "Rang einer Matrix", "Systemmatrix" und "erweiterte Systemmatrix" verinnerlicht worden sind ) |
| Hallo, sie mag DIR keine Hilfe gewesen sein, aber anderen?! Mfg Michael |
| Hallo ! Das klingt interessant...ich habe allerdings nur zur Kenntnis genommen, dass eine Matrix einen Rang hat...damit gemacht habe ich noch nichts und was das ist weiß ich auch nicht. Ist es Deiner Meinung überhaupt möglich, allein aus der Information, dass die Determinante 0 ist, zu schließen, ob es sich um den Fall handelt, in dem es keine Lösung gibt oder ob es sich um den Fall handelt, bei dem das "unendlich viele" Lösungen bedeutet ? Matze |
| Um die Begriffe Rang, Systemmatrix, erweiterte Systemmatrix wird man nicht herum können. Zu deinem Sonderfall ( quadratische Systemmatrix ): Ist die dazugehörige Determinante 0, so gibt es ENTWEDER unendlich viele Lösungen ODER keine Lösungen. Erst die erweiterte Systemmatrix liefert die Entscheidung ( siehe Zusammenfassung weiter oben ). |
| Hallo, offenbar hängt es entscheidend von b⃗ ab, ob Lösungen existieren oder nicht. Insofern reicht die Information det(A)=0 nicht
aus, um die beiden Fälle zu unterscheiden. Mfg Michael |
| Hallo Reinhard ! Vielen Dank für Deine Mithilfe. Die Antworten sind sehr hilfreich. Zum besseren Verständnis der Herkunft meiner
Fragen: Ich habe hier Aufgaben, die zur Determinante hinführen sollen. Das sehe ich, wenn ich ein, zwei Seiten weiterlese....aber eigentlich arbeitet man ein Buch systematisch durch. Und dort wo diese Aufgabe vorgelegt wird, kennt der Übende den Begriff Determinante noch nicht ( es handelt sich um ein Buch der Reihe Lambacher und Schweizer ). Der Aufgabensteller hat mir folgende Aufgabe gegeben: 4x1-2x2+13x3=0
Der Aufgabensteller möchte nun, dass ich das a so bestimme, dass das LGS eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat. Wie man das macht, wenn man wie hier in meinem Aufgabenbuch an dieser Stelle die Determinante eben noch gar nicht kennt, sondern erst auf den folgenden Seiten kennenlernen wird, frage ich mich in der Tat. Ich habe deshalb einen Weg gesucht, wie ich das Problem erschlagen kann. Und zwar ohne dass ich mir hier die Ebenen vorstelle und mich frage, ob sie sich in einer Geraden, in einem Punkt oder gar nicht schneiden. Wenn ich die Determinante bestimme, kommt ein Wert in Abhängigkeit von a heraus. In diesem Fall ist es ein linearer Ausdruck, den man Null setzen kann. Das heißt, dass für jedes a, für das die Determinante nicht Null ist, genau eine Lösung existiert. Das kriegt man ja raus, ohne das man das rechenfehleranfällige Gaussverfahren anwendet, also das LGS auf Stufenform bringt.... (ich verrechne mich dabei nämlich gerne mal irgendwo unterwegs). Nun ist es so, dass ich also ein a bestimmen kann, so dass die Determinante 0 wird. Und das ist die notwendige Bedingung für keine oder für unendlich viele Lösungen. Was ich jetzt suche, ist also die hinreichende Bedingung dafür, dass die Koeffizientenmatrix zu eben keiner oder eben unendlich vielen Lösungen führt. Und hier ist deshalb meine Frage an Euch, wie ich an so ein hinreichendes Kriterium herankommen kann. Denn die Tatsache, dass die Determinante Null ist, sagt ja eben noch nicht eindeutig aus, was Sache ist. Geht das nur über den Rang ? Grüße von Matze |
| Bis jetzt lag das Augenmerk ja nur auf der "Systemmatrix", also die Matrix, die aus den Koeffizienten der Unbekannten gebildet wird. Da diese Matrix im vorliegenden Fall quadratisch ist, läßt sich die Determinante bilden und berechnen. D=|4-213a6-1527|=443⋅ (a+12) Allerdings stehen ja auch rechts vom Gleichheitszeichen Werte, die zur Lösbarkeit ( bzw. Unlösbarkeit ) des LGS beitragen. Ich könnte nun diese Werte nehmen und daraus "neue" Determinanten basteln. Weiters Dz=|4-20a60524⋅a|=8⋅a⋅(a+12) Löse ich nun das LGS mit herkömmlichen Methoden, so komme ich zur erstaunlichen Erkenntnis, dass sich Folgendes ergibt: Und nun zur Argumentation der Lösbarkeit Ist D=0( durch 0 dividieren ist "verboten" !), so ist es aus mit der eindeutigen Lösbarkeit. Gilt Dx≠0,Dy≠0 und Dz≠0, aber D=0, dann gibt es wirklich keine Lösungen. Gilt aber auch Dx=0,Dy=0,Dz=0, so gelangen wir auf ein heikles Gebiet, denn Brüche der Form 00 gelten in der Mathematik als "unbestimmt" und lassen - theoretisch - unendlich viele Lösungen zu. Jetzt zu unserem speziellen Beispiel. Man erhält formal die Lösungen: Wann gibt es Probleme? Offensichtlich dann, wenn gilt: Ist nun aber a=-12, so läßt sich schnell überprüfen, dass die jeweiligen Zähler der Lösungsbrüche auch 0 sind, es gibt also unendlich viele Lösungen. Ist a≠-12⇒x=0 ⋅) Rechnungen überprüfen und nachvollziehen |
| Hallo Reinhard ! Ganz herzlichen Dank für die Erläuterung....so kann man in der Tat zügig zu einer vernünftigen Beurteilung kommen. Ich werde mich eingehender damit beschäftigen müssen und das werde ich auch auf Grundlage Deines Textes tun. Viele Grüße und herzlichen Dank für die kompetente Hilfe. Mathias |