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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Frage (beantwortet)
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Hallo ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe. Also meine Gedanken dazu: (1) Ähnlichkeit ist ja ganz allgemein eine Äquivalenzrelation auf die quadratischen Matrizen. und GL(n,K) ist ja die Gruppe alle quadratischen invertierbaren Matrizen. Also gewissermaßen eine Untergruppe der quadratischen Matrizen. Also müsste diese Aussage doch richtig sein oder? (2)Zwei Matrizen sind ja ähnlich wenn es eine invertierbare Matrix S GL(n,K) gibt sod ass
aber das dürfte doch hier nicht hinhauen, weil die A bzw B bereits invertierbar sind oder? also müsste die Aussage doch falsch sein oder?...ich habe irgendwie keine richtige Begründung dafür, dass es falsch ist das alles
sehr schwammig. kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? (3) Diese Aussage ist falsch. Denn es gilt zwar für zwei ähnliche Matrizen, dass sie die selbe Determinante haben. Aber die Umkehrung gilt nicht von daher müsste diese Aussage falsch sein. Kann mir bitte jemand weitere Hinweise zu meinen Überlegungen geben? LG Schmetterfee
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Antwort
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Hallo,
> Sei K ein beliebiger Körper n 2 aus
Entscheiden
> Sie, ob die folgenden Aussagen im allgemeinen richtig oder
> falsch sind.
> (1) Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation auf
> GL(n,K).
> (2) Je zwei Matrizen aus GL(n,K) sind ähnlich.
> (3) Je zwei Matrizen aus GL(n,K) mit derselben
> Determinante sind ähnlich.
> Hallo ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe. Also
> meine Gedanken dazu:
>
> (1) Ähnlichkeit ist ja ganz allgemein eine
> Äquivalenzrelation auf die quadratischen Matrizen. und
> GL(n,K) ist ja die Gruppe alle quadratischen invertierbaren
> Matrizen. Also gewissermaßen eine Untergruppe der
> quadratischen Matrizen.
Wenn ihr das nicht bewiesen habt, müsstest du das beweisen (bzw. dir klar machen!)
> Also müsste diese Aussage doch
> richtig sein oder? Ja. Du solltest dir das trotzdem "selbst" bestätigen können.
Prüfe doch einfach die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation
( , Symmetrie, Transitivität) nach! Die sind alle drei seht einfach zu beweisen.
> (2)Zwei Matrizen sind ja ähnlich wenn es eine
> invertierbare Matrix S
GL(n,K) gibt sod ass
>
> aber das dürfte doch hier nicht hinhauen, weil die A bzw
> B bereits invertierbar sind oder? also müsste die Aussage
> doch falsch sein oder? Das verstehe ich nicht. Wieso haut das nicht hin?
Die Aussage ist falsch. Du müsstest also zum Beispiel zwei Matrizen A,B angeben, für die kein GL(n,K) existiert, sodass
ist. Da das natürlich furchtbar aufwendig ist, machst du es anders: Nutze einfach Folgerungen, die über zwei ähnliche Matrizen gemacht wurden (zum Beispiel: Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante,
etc.). Wenn du zwei Matrizen angibst, die nicht die gleiche Determinante haben, aber beide in GL(n,K) sind, können sie nicht ähnlich sein.
(Wären sie ähnlich, hätten sie die gleiche Determinante). (Natürlich wählst du einfachheitshalber Diagonalmatrizen!)
> (3) Diese Aussage ist falsch. Denn es gilt zwar für zwei
> ähnliche Matrizen, dass sie die selbe Determinante haben.
> Aber die Umkehrung gilt nicht von daher müsste diese
> Aussage falsch sein. Das hast du sehr schön geschrieben, nur leider lässt sich auch hier kein einziges konkretes Gegenbeispiel finden.
Die Aussage ist falsch.
Schau mal, was ihr noch so für ähnliche Matrizen gefolgert habt. Im Grunde könntest du wieder wie folgt vorgehen: Suche zwei Matrizen aus GL(n,K), welche auch noch dieselbe
Determinante haben. Nun zeigst du, dass die beiden Matrizen aber zum Beispiel nicht dieselbe Spur, etc. haben, was wieder im Widerspruch zur Ähnlichkeit steht. Grüße,
Stefan
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Frage (beantwortet)
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> Hallo,
>
> > Sei K ein beliebiger Körper n 2 aus
Entscheiden
> > Sie, ob die folgenden Aussagen im allgemeinen richtig oder
> > falsch sind.
> > (1) Ähnlichkeit ist
eine Äquivalenzrelation auf
> > GL(n,K).
> > (2) Je zwei Matrizen aus GL(n,K) sind ähnlich.
> > (3) Je zwei Matrizen aus GL(n,K) mit derselben
> > Determinante sind ähnlich.
> > Hallo ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe.
> Also
> > meine Gedanken dazu:
> >
> > (1) Ähnlichkeit ist ja ganz allgemein eine
> > Äquivalenzrelation auf die quadratischen Matrizen. und
> > GL(n,K) ist ja die Gruppe alle quadratischen invertierbaren
> > Matrizen. Also gewissermaßen eine Untergruppe der
> > quadratischen Matrizen.
>
> Wenn ihr das nicht bewiesen habt, müsstest du das beweisen
> (bzw. dir klar machen!)
>
> > Also müsste diese Aussage doch
> > richtig sein oder?
>
> Ja. Du solltest dir das trotzdem "selbst" bestätigen
> können.
> Prüfe doch einfach die drei Eigenschaften einer
> Äquivalenzrelation
(, Symmetrie, Transitivität)
> nach! Die sind alle drei seht einfach zu beweisen.
> Auch wenn das nicht so schwer ist könntest du mir
vieeleicht ein Tipp geben wie ich das zeig?...
Ich muss ja zeigen, die Reflexivität zeigen x~x
die Symmetrie x~y y~x
und die transitivität a~b und b~c a~c
kannst du mir das vll am beispiel der Symmetriue zeigen und ich versuch das für die anderen Beiden?..bekomm das nicht ganz hin. wähle ich mir dann ganze allgemein eine Matrix aus GL(n,K) um das zu zeigen?
> > (2)Zwei Matrizen sind ja ähnlich wenn es eine
> > invertierbare
Matrix S GL(n,K) gibt sod ass
> >
> > aber das dürfte doch hier nicht hinhauen, weil die A
> bzw
> > B bereits
invertierbar sind oder? also müsste die Aussage
> > doch falsch sein oder?
>
> Das verstehe ich nicht. Wieso haut das nicht hin?
> Die Aussage ist falsch. Du müsstest also zum Beispiel
> zwei Matrizen A,B angeben, für die kein
GL(n,K)
> existiert, sodass
ist. Da das natürlich
> furchtbar aufwendig ist, machst du es anders:
>
> Nutze einfach
Folgerungen, die über zwei ähnliche
> Matrizen gemacht wurden (zum Beispiel: Ähnliche Matrizen
> haben die gleiche Determinante, etc.). Wenn du zwei
> Matrizen angibst, die nicht die gleiche Determinante haben,
> aber beide in GL(n,K) sind, können sie nicht ähnlich
> sein.
> (Wären sie ähnlich, hätten sie die gleiche
> Determinante).
>
> (Natürlich wählst du einfachheitshalber
> Diagonalmatrizen!) Naja da könnte man ja zum Beispiel die Nullmatrix und die Einheitsmatrix nehmen oder?..sind beides Diagonalmatrizen haben aber
unterschiedliche Determinanten.. nämllich 1 und 0
>
> > (3) Diese Aussage ist falsch. Denn es gilt zwar für zwei
> > ähnliche Matrizen, dass sie die selbe Determinante haben.
> > Aber die Umkehrung gilt nicht von daher müsste diese
> > Aussage falsch sein.
>
> Das hast du sehr schön geschrieben, nur leider lässt sich
> auch hier kein einziges konkretes Gegenbeispiel finden.
> Die Aussage ist falsch.
> Schau mal, was ihr noch so für ähnliche Matrizen
> gefolgert habt. Im Grunde könntest du wieder wie
folgt
> vorgehen: Suche zwei Matrizen aus GL(n,K), welche auch noch
> dieselbe Determinante haben. Nun zeigst du, dass die beiden
> Matrizen aber zum Beispiel nicht dieselbe Spur, etc. haben,
> was wieder im Widerspruch zur Ähnlichkeit steht.
> da könnte man doch
und nehmen die haben beide die gleichen Determinanten aber unterschiedlichen Rang und somit auch nicht ähnlich oder? LG Schmetterfee
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Antwort
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Hallo,
> > Prüfe doch einfach die drei Eigenschaften einer
> > Äquivalenzrelation (, Symmetrie,
Transitivität)
> > nach! Die sind alle drei seht einfach zu beweisen.
> >
> Auch wenn das nicht so schwer ist könntest du mir
> vieeleicht ein Tipp geben wie ich das zeig?...
> Ich muss ja zeigen, die Reflexivität zeigen x~x
> die
Symmetrie x~y y~x
> und die transitivität a~b und b~c
a~c
> kannst du mir das vll am beispiel der Symmetriue zeigen
> und ich versuch das für die anderen Beiden?..bekomm das
> nicht ganz hin. wähle
ich mir dann ganze allgemein eine
> Matrix aus GL(n,K) um das zu zeigen? Ja!
Sei . Dann ist
, also ist
.
Seien
GL(n,K)$ mit B, d.h.
GL(n,K)$: $B =
Daraus folgt $A =
Das heißt, wir haben mit
eine Matrix gefunden, so dass
A$.
> > Nutze einfach Folgerungen, die über zwei ähnliche
> > Matrizen gemacht wurden (zum Beispiel: Ähnliche Matrizen
> > haben die
gleiche Determinante, etc.). Wenn du zwei
> > Matrizen angibst, die nicht die gleiche Determinante haben,
> > aber beide in GL(n,K) sind, können sie nicht ähnlich
> > sein.
> > (Wären sie ähnlich, hätten sie die gleiche
> > Determinante).
> >
> > (Natürlich wählst du einfachheitshalber
> > Diagonalmatrizen!)
>
> Naja da könnte man ja zum Beispiel die Nullmatrix und die
> Einheitsmatrix nehmen oder?..sind beides Diagonalmatrizen
> haben
aber unterschiedliche Determinanten.. nämllich 1 und
> 0 Beachte, dass beide Matrizen aus GL(n,K) kommen müssen, also invertierbar! Die Nullmatrix ist nicht invertierbar.
> > Das hast du sehr schön geschrieben, nur leider lässt sich
> > auch hier kein einziges konkretes Gegenbeispiel finden.
> > Die
Aussage ist falsch.
> > Schau mal, was ihr noch so für ähnliche Matrizen
> > gefolgert habt. Im Grunde könntest du wieder wie folgt
> > vorgehen: Suche zwei Matrizen aus GL(n,K), welche auch noch
> > dieselbe Determinante haben. Nun zeigst du, dass die beiden
> > Matrizen
aber zum Beispiel nicht dieselbe Spur, etc. haben,
> > was wieder im Widerspruch zur Ähnlichkeit steht.
> >
> da könnte man doch und
> nehmen die haben beide die gleichen Determinanten aber
> unterschiedlichen Rang und somit auch nicht ähnlich oder? ??? Es ist doch ganz klar vorgegeben, dass alle Matrizen aus EINEM GL(n,K) kommen sollen!
Also haben beide dieselben Dimensionen; insbesondere beide Rang n. Damit scheidet dieses Kriterium aus. Grüße,
Stefan
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Frage (beantwortet)
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> Hallo,
>
> > > Prüfe doch einfach die drei Eigenschaften einer
> > > Äquivalenzrelation
(, Symmetrie, Transitivität)
> > > nach! Die sind alle drei seht einfach zu beweisen.
> > >
>
> Auch wenn das nicht so schwer ist könntest du mir
> > vieeleicht ein Tipp geben wie ich das zeig?...
> > Ich muss ja zeigen, die Reflexivität zeigen x~x
> > die Symmetrie x~y
y~x
> > und die transitivität a~b und b~c
a~c
> > kannst du mir das vll am beispiel der Symmetriue zeigen
> > und ich versuch das für die anderen Beiden?..bekomm das
>
> nicht ganz hin. wähle ich mir dann ganze allgemein eine
> > Matrix aus GL(n,K) um das zu zeigen?
>
> Ja!
> Sei
.
>
> Dann ist
, also ist
.
> Seien
>
GL(n,K)$ mit
B, d.h. GL(n,K)$:
> $B =
Daraus folgt $A =
Das
> heißt, wir haben mit
eine Matrix gefunden, so dass
> A$.
>
> Naja für die Transitivität wären das denn ja:
Seien A,B,C GL(n,K) mit A~B d.h. P GL(n,K):
und B~C d.h.
S GL(n.K): C=
Daraus folgt und
aber wie amch ich dann weiter?
kann ich dann einfach sagen
und das würde denn ja bedeuten A~C oder?
>
> > > Nutze einfach Folgerungen, die über zwei
ähnliche
> > > Matrizen gemacht wurden (zum Beispiel: Ähnliche Matrizen
> > > haben die gleiche Determinante, etc.). Wenn du zwei
> > > Matrizen angibst, die nicht die gleiche Determinante haben,
> > > aber beide in GL(n,K) sind, können sie nicht ähnlich
> > > sein.
> > > (Wären sie ähnlich, hätten sie die gleiche
> > > Determinante).
> > >
> > > (Natürlich wählst du einfachheitshalber
> > > Diagonalmatrizen!)
> >
> > Naja da könnte man ja zum Beispiel die Nullmatrix und die
> > Einheitsmatrix nehmen oder?..sind beides Diagonalmatrizen
> > haben aber unterschiedliche Determinanten.. nämllich 1 und
> > 0
>
> Beachte, dass beide Matrizen aus GL(n,K) kommen müssen,
> also invertierbar! Die Nullmatrix ist nicht invertierbar.
> ja klar also: und
die beiden gehen doch haben ja einmal 15 als determinate und einmal -15
>
>
> > > Das hast du sehr
schön geschrieben, nur leider lässt sich
> > > auch hier kein einziges konkretes Gegenbeispiel finden.
> > > Die Aussage ist falsch.
> > > Schau mal, was ihr noch so für ähnliche Matrizen
> > > gefolgert habt. Im Grunde könntest du wieder wie folgt
> > > vorgehen: Suche zwei Matrizen aus GL(n,K), welche auch noch
> > > dieselbe Determinante haben. Nun zeigst du, dass die beiden
> > > Matrizen aber zum Beispiel nicht dieselbe Spur, etc. haben,
> > > was wieder im Widerspruch zur Ähnlichkeit steht.
> > >
> > da könnte man doch und
> > nehmen die haben beide die gleichen Determinanten aber
> > unterschiedlichen Rang und somit auch
nicht ähnlich oder?
>
> ??? Es ist doch ganz klar vorgegeben, dass alle Matrizen
> aus EINEM GL(n,K) kommen sollen!
> Also haben beide dieselben Dimensionen; insbesondere beide
> Rang n. Damit scheidet dieses Kriterium aus. ja klar dummer fehler sorry..
hier würde dann doch
und
gehen. haben die gleiche Determinante 15 aber unterschiedliche Spur einmal 8 und einmal 0 Lg Schmetterfee
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Antwort
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Hallo,
> Naja für die Transitivität wären das denn ja:
> Seien A,B,C GL(n,K) mit A~B d.h.
P
> GL(n,K): und B~C d.h.
S GL(n.K):
> C=
> Daraus folgt
und
> aber wie amch ich dann weiter?
> kann ich dann einfach sagen
und das
> würde denn ja bedeuten A~C oder? Nein, das ist nicht richtig. Beachte, wie du
C definiert hast: Du musst
GL(n,K) finden so, dass
ist. (Natürlich läuft es auf genau dasselbe Prinzip hinaus, wie du oben angegeben hast, aber wäre das eine Übungsaufgabe, hättest du jetzt noch nichts gezeigt).
> >
> > Nutze einfach Folgerungen, die über zwei ähnliche
> > > > Matrizen gemacht wurden (zum Beispiel: Ähnliche Matrizen
> > > > haben die gleiche Determinante, etc.). Wenn du zwei
> > > > Matrizen angibst, die nicht die gleiche Determinante haben,
> > > > aber beide in GL(n,K) sind, können sie nicht
ähnlich
> > > > sein.
> > > > (Wären sie ähnlich, hätten sie die gleiche
> > > > Determinante).
> > > >
> > > > (Natürlich wählst du einfachheitshalber
> > > > Diagonalmatrizen!)
> > >
> > > Naja da könnte man ja zum Beispiel die Nullmatrix und die
> > > Einheitsmatrix nehmen oder?..sind beides Diagonalmatrizen
> > > haben aber unterschiedliche Determinanten.. nämllich 1 und
> > > 0
> >
> > Beachte, dass beide Matrizen aus GL(n,K) kommen müssen,
> > also invertierbar! Die Nullmatrix ist nicht invertierbar.
> >
> ja klar also:
und
> die beiden gehen doch haben ja einmal 15 als determinate
> und einmal -15 Genau! Müsstest du es konkret aufschreiben sollten noch ein paar Floskeln dazu:
Wähle
GL(n,K), (A und B natürlich gerade wie oben bei dir beschrieben). Ang., A und B wären ähnlich, dann würde folgen det(A) = det(B), es ist hier aber det(A)
det(B), Widerspruch. Also sind A und B nicht ähnlich.
> > > > Schau mal, was ihr noch so für ähnliche
> Matrizen
> > > > gefolgert habt. Im Grunde könntest du wieder wie folgt
> > > > vorgehen: Suche zwei Matrizen aus GL(n,K), welche auch noch
> > > > dieselbe Determinante haben. Nun zeigst du, dass die beiden
> > > > Matrizen aber zum Beispiel nicht dieselbe Spur, etc. haben,
> > > > was
wieder im Widerspruch zur Ähnlichkeit steht.
> > > >
> > > da könnte man doch und
> > > nehmen die haben beide die gleichen Determinanten aber
> > > unterschiedlichen Rang und
somit auch nicht ähnlich oder?
> ja klar dummer fehler sorry.. hier würde dann doch
>
> und gehen. haben die gleiche
> Determinante 15 aber unterschiedliche Spur einmal 8 und
> einmal 0
Genau!
Wenn ihr das mit der Spur bewiesen habt, bist du fertig. Grüße,
Stefan
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Frage (beantwortet)
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> Hallo,
>
> > Naja für die Transitivität wären das denn ja:
> > Seien A,B,C GL(n,K) mit A~B d.h. P
> > GL(n,K):
und B~C d.h.
S GL(n.K):
> > C=
> > Daraus folgt
und
> > aber wie amch ich dann weiter?
> > kann ich dann einfach sagen
und
> das
> > würde denn ja bedeuten A~C oder?
>
> Nein, das ist nicht richtig. Beachte, wie du C
> definiert hast: Du musst
GL(n,K) finden so, dass
>
>
>
> ist. (Natürlich läuft es auf genau dasselbe Prinzip
> hinaus, wie du oben angegeben
hast, aber wäre das eine
> Übungsaufgabe, hättest du jetzt noch nichts gezeigt).
> okay ich habe das Prinzip jetzt verstanden, wüsste aber trotzdem nicht genau wie ich das formal aufschreiben sollte. ich wüsste nicht wie ich den weg umgekehrt geh damit ich
erhalte...
Könntest du mir da noch einen kleinen Denkanstoss geben? LG Schmetterfee
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Antwort
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Hallo,
> > > Naja für die Transitivität wären das denn ja:
> > > Seien A,B,C GL(n,K) mit A~B d.h.
P
> > > GL(n,K): und B~C d.h.
S GL(n.K):
> > > C=
> > > Daraus folgt
und
> > > aber wie amch ich dann weiter?
> > > kann ich dann einfach
sagen
> und
> > das
> > > würde denn ja bedeuten A~C
oder?
> >
> > Nein, das ist nicht richtig. Beachte, wie du C
> > definiert hast: Du musst
GL(n,K) finden so, dass
> >
> >
> >
> > ist. (Natürlich läuft es auf genau dasselbe Prinzip
> > hinaus,
wie du oben angegeben hast, aber wäre das eine
> > Übungsaufgabe, hättest du jetzt noch nichts gezeigt).
> okay ich habe das Prinzip jetzt verstanden, wüsste aber
> trotzdem nicht genau wie ich das formal aufschreiben
> sollte. ich wüsste nicht wie ich den weg umgekehrt geh
> damit ich erhalte...
> Könntest du mir da noch einen kleinen Denkanstoss geben? Eigentlich funktioniert es
genau so, wie du oben geschrieben hast, nur eben formst du nichts um
-->
(I)
-->
(II) Insgesamt folgt:
, d.h. mit
ist eine Matrix gefunden, so dass
. --> . Grüße,
Stefan
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| Ähnlichkeit zweier Matrizen: Mitteilung
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Danke für den Beweis. Stand da echt auf dem Schlauch. und vor allem ganz großen Dank das du so viel Geduld mit mir hast. LG Schmetterfee
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Was gilt für ähnliche Matrizen?
\medskip Es gilt: Ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte. Die quadratischen Matrizen {\bf A} und {\bf B} heißen ähnlich, wenn eine reguläre Matrix {\bf C} existiert mit CB=A⋅C C B = A ⋅ C bzw. B=C−1A⋅C.
Haben ähnliche Matrizen den gleichen Rang?
Charakterisierung. Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben. die gleiche Smith-Normalform aufweisen.
Sind ähnliche Matrizen äquivalent?
Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.
Wann kann man eine Matrix Diagonalisieren?
Eine quadratische Matrix A ∈ C(n,n) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix X ∈ GL(n,C) gibt mit A = XDX−1 . Dabei sei D eine Diagonalmatrix.