Alle Gegenstände aus unserer Umwelt sind aus mathematischer Sicht sogenannte Körper. Sicherlich kennst du viele verschiedene davon und hast einige schon in der Grundschule kennengelernt. Im Unterschied zu Flächen (Dreieck, Viereck, …) kann man Körper anfassen. Sie sind räumlich (dreidimensional). Die Körper, die man am häufigsten vorfindet, sind Quader und Würfel.
Achtung:
- In den Würfel- und Quaderecken stehen immer 3 Kanten senkrecht aufeinander. Dies ist im Schrägbild oft nicht gut erkennbar.
- Bei manchen Quadern können 2 gegenüberliegende Flächen auch Quadrate sein.
Beispiel
Fülle die Tabelle aus, wobei die Begriffe Würfel und Quader jeweils für alle denkbaren Arten von Würfeln und Quadern stehen.
175 –
Betrachte nebenstehenden Quader.
a) Wie viele Kanten treffen in einer Ecke zusammen?
b) Wie viele Flächen treffen in einer Ecke zusammen?
c) Wie viele Ecken, Kanten und Flächen besitzt jede Fläche?
d) Wie viele Flächen treffen längs einer Kante zusammen?
Lösüng:
a) In einer Ecke treffen jeweils 3 Kanten zusammen.
b) In einer Ecke treffen jeweils 3 Flächen zusammen.
c) Jede Fläche besitzt 4 Ecken, 4 kanten und natürlich 1 Fläche.
d) Längs einer Kante treffen 2 Flächen zusammen.
176 – Nenne 5 Gegenstände aus unserer Umwelt, die die Form eines Quaders besitzen.
Lösung:
Die Form eines Quaders haben zum Beispiel:
• Schuhschachteln
• Backsteine
• Streichholzschachteln
• Bücher
• Kacheln
177 – Ein Würfel hat 6 Flächen. Jede Fläche hat 4 Ecken. Demnach hat der Würfel 6 • 4 = 24 Ecken. Was ist falsch an dieser Rechnung?
Lösung:
Bei der Rechnung wurde nicht berücksichtigt, dass in jeder Ecke des Würfels 3 Flächen Zusammentreffen. Das heißt, eine Ecke „gehört“ immer zu 3 verschiedenen Flächen. Somit muss das Ergebnis der „falschen“ Rechnung (24 Ecken) noch durch 3 dividiert werden, um die richtige Eckenzahl (8 Ecken) zu ermitteln!
Was ein Quader ist und welche Eigenschaften und Formeln für diesen verwendet werden, lernst du hier. Dies sehen wir uns an:
- Eine Erklärung und eine Definition für einen Quader.
- Beispiele und Formeln zum Quader mit Zahlen und Einheiten.
- Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
- Ein Video zu Volumen und Oberflächen.
- Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.
Tipp: Ihr solltet wissen, was Zentimeter und Meter sind. Wer davon keine Ahnung hat, sieht bitte in Längeneinheiten umrechnen rein.
Quader Erklärung und Definition
Definition Quader: Ein Quader ist ein räumlicher Körper, der aus sechs Rechtecken besteht. Jeweils zwei Rechtecke liegen sich gegenüber und sind parallel zueinander.
Eigenschaften Quader:
Aus der Definition vom Quader ergeben sich diese Eigenschaften für einen Quader:
- Ein Quader hat 8 Ecken, welche rechtwinklig sind.
- Ein Quader hat 12 Kanten, jeweils 4 mit gleicher Länge.
- Ein Quader hat 6 Flächen in Form eines Rechtecks.
Unterschied Quader und Würfel:
Ein Würfel ist ein spezieller Quader bei dem alle Seiten (a, b und c) gleich lang sind. Jeder Würfel ist ein Quader. Ein Quader kann die Form eines Würfel haben, muss es aber nicht.
Anzeige:Quader Formel zum Flächeninhalt
Um den Flächeninhalt eines Quaders zu berechnen, wird die Fläche der 6 Rechtecke addiert, die einen Quader beschreiben. Die jeweils gegenüberliegenden Rechtecke sind dabei gleich groß. In der Formel zu Oberfläche eines Quaders ist "O" der Flächeninhalt und "a", "b" und "c" sind die Längen der Seiten.
Beispiel: Flächeninhalt Quader
Ein Quader ist 3 Meter lang, 80 Zentimeter breit und 2,43 Meter hoch. Welche Oberfläche hat dieser Quader?
Lösung: Zwei der Längenangaben sind in Meter, die andere Angabe ist in Zentimeter. Um den Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir alle Angaben in der gleichen Einheit. Wir rechnen die Zentimeter-Angabe in Meter um. Im nächsten Schritt setzen wir die Angaben in die Formel für die Oberfläche des Quaders (rot markiert) ein. Dies rechnen wir aus und beachten dabei Rechenregeln wie Klammern ausmultiplizieren oder Punkt vor Strich.
Die Oberfläche des Quaders ist 23,268 Quadratmeter groß.
Quader Formel zum Volumen
Das Volumen eines Quaders wird berechnet, indem die drei Seiten des Quaders miteinander multipliziert werden. In Worten: Das Volumen des Quader ist Länge mal Breite mal Höhe. In der Formel zum Volumen ist "V" das Volumen. Die Seitenlängen werden mit "a", "b" und "c" bezeichnet.
Beispiel: Volumen Quader
Ein Quader ist 60 cm lang, 40 cm breit und 34 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Quaders?
Lösung: Der Aufgabenstellung entnehmen wir, dass a = 60 cm, b = 40 cm und c = 34 cm ist. Das Volumen erhalten wir, indem wir diese drei Angaben miteinander multiplizieren. Dabei muss darauf geachtet werden, dass nicht nur die Zahlen, sondern auch die Einheiten multipliziert werden müssen. Aus cm · cm wird cm2 und aus cm2 · cm wird cm3.
Das Volumen des Quaders ist 81600 cm3 groß.
Anzeigen:Quader mit Würfel
Ein Würfel ist ein ganz spezieller Quader. Während Länge, Breite und Höhe eines Quaders verschieden sein können, sind beim Würfel Länge, Breite und Höhe gleich lang. In einen Quader kann jedoch ein Würfel eingefügt werden.
Beispiel: Quader mit Würfel
Ein Quader ist 30 cm breit, 40 cm hoch und 25 cm lang. In diesen Quader soll ein möglichst großer Würfel reingesteckt werden. Wie groß kann dieser Würfel maximal sein?
Lösung: Aus dem Quader wird ein Würfel, wenn alle Seitenlängen gleich lang sind. Soll der Würfel jetzt in den Quader passen, dann begrenzt die kürzeste Seite vom Quader. Diese Seite ist 25 cm lang. Daher kann der Würfel maximal 25 cm · 25 cm · 25 cm groß sein.
Aufgaben / Übungen Quader
Aufgabe 1: Bevor wir rechnen ein paar Fragen zum Quader. Klickt auf Überspringen, falls ihr eine Frage nicht mögt. Erste Frage: Wie viele Ecken hat ein Quader?
Du hast 0 von 5 Aufgaben erfolgreich gelöst.
Video Quader und Geometrie
Volumen und Oberfläche
Im nächsten Video werden diese Themen behandelt:
- Quader Volumen
- Quader Oberfläche
- Zylinder Volumen
- Kugel Volumen
- Kugel Oberfläche
Nächstes Video »
Fragen mit Antworten zum Quader
In diesem Abschnitt werden typische Fragen mit Antworten zum Quader behandelt.
Wie viele Flächen hat ein Quader?
Ein Quader hat 6 Flächen. Diese 6 Flächen des Quaders sind rechteckig.
Ist ein Würfel ein besonderer Quader?
Ja, ein Würfel ist ein besonderer Quader. Beim Würfel sind alle Seiten gleich lang, beim Quader kann dies der Fall sein, muss es aber nicht.
Ist Quadrat und Quader das gleiche?
Nein, Quadrat und Quader sind nicht das Gleiche. Ein Quadrat hat nur eine Länge und eine Breite, ein Quader hat zusätzlich noch eine Höhe.
Was unterscheidet Würfel und Quader?
Würfel und Quader unterscheiden sich bei den Seitenlängen. Ein Würfel besteht nur aus gleichen Seitenlängen (a = b = c). Der Quader kann - muss aber nicht - verschiedene Seitenlängen aufweisen.
Was sind die Eigenschaften eines Quaders?
Die Eigenschaften eines Quaders sind 6 rechteckige Seitenflächen, 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten bei denen jeweils vier gleiche Längen besitzen.
Was hat die Form eines Quaders?
Die Form eines Quaders haben zum Beispiel einige Verpackungen, ein Würfel ist immer ein Quader oder manche Steine haben eine Quaderform.
Wann wird der Quader in der Schule behandelt?
Der Quader wird bereits in der Grundschule gezeichnet. Die Formeln zur Oberfläche oder Volumen folgen in der 5. Klasse oder spätestens in der 6. Klasse. Ebenfalls der Würfel wird in den entsprechenden Klassenstufen behandelt.