Die natürlichen Zahlen sind die ersten Zahlen, mit denen wir in Berührung kommen. Sie werden zuerst zum Zählen von Dingen verwendet.
Die Zahlen heißen „natürlich“, weil sie auf natürliche Weise entstehen.
Kinder nutzen beim Abzählen meist die Finger. Die Anzahl an Fingern erhält jeweils ein Zahlzeichen:
- I → 1 Auto,
- II → 2 Äpfel,
- III → 3 Stück Kuchen,
- IIII → 4 Tassen,
- IIIII → 5 Lutscher
- IIIII I → 6 Stifte,
- IIIII II → 7 Häuser,
- IIIII III → 8 Bäume,
- IIIII IIII → 9 Tische,
- IIIII IIIII → 10 Stühle
Die natürlichen Zahlen werden mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 dargestellt.
Beispiele für natürlichen Zahlen: 3, 10, 15, 72, 140, 2 359, …
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Zum Beispiel hat die Zahl 5 den Nachfolger 6 oder die Zahl 112 hat den Nachfolger 113.
Die natürlichen Zahlen kann man abzählen mit 1, 2, 3, 4, 5, … Dabei addiert man stets +1 auf die vorige Zahl. Das kann man übrigens unendlich lange so fortführen, egal wie groß die Zahl auch gewählt wird. Das Zeichen für „unendlich“ ist ∞ (eine liegende Acht).
Da jede natürliche Zahl immer einen Nachfolger (mit +1) hat, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.
Wir benutzen als Abkürzung für die Menge der natürlichen Zahlen das Zeichen ℕ.
Wenn wir also in einem Text ein ℕ sehen, dann steht das Zeichen für alle natürlichen Zahlen.
Mengenschreibweise
Man verwendet das Zeichen ∈, um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen ∉, um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört.
Im Folgenden ein paar Beispiele bezüglich der Zahlenmengen:
- 1 ∈ ℕ → Wir sagen: „1 ist Element der natürlichen Zahlen.“
- 205 ∈ ℕ → Wir sagen: „205 ist Element der natürlichen Zahlen.“
- -2 ∉ ℕ → Wir sagen: „-2 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“
- 0,5 ∉ ℕ → Wir sagen: „0,5 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“
Null als natürliche Zahl
Interessant ist die Frage, ob die Zahl 0 eine natürliche Zahl ist und damit zur Menge der natürlichen Zahlen zählt.
Tatsächlich gibt es bis heute keine eindeutige Festlegung, ob ℕ die 0 enthält oder nicht.
Daher schreibt man eine tiefgestellte 0 an das ℕ heran, um deutlich zu machen, dass die 0 in der Zahlenmenge enthalten ist. Das Zeichen ist: ℕ0.
Hier eine Übersicht über die möglichen Definitionen:
- ℕ0 → die 0 ist enthalten. Beginnt bei: 0, 1, …
- ℕ1 → die 0 ist nicht enthalten. Beginnt bei: 1, 2, …
- ℕ* → die 0 ist nicht enthalten. Beginnt bei: 1, 2, …
- ℕ → die 0 kann enthalten sein oder nicht. (Hinweis: Bei Matheretter ist sie enthalten.)
Aufgeschrieben werden die natürlichen Zahlen als Menge grundsätzlich so:
ℕ0 = { 0, 1, 2, 3, 4, … }
oder
ℕ1 = { 1, 2, 3, 4, … }
Randbemerkungen:
Bei ℕ1 kann man auch von allen „positiven ganzen Zahlen“ sprechen, während man bei ℕ0 von allen „nicht-negativen ganzen Zahlen“ spricht. Grund: Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.
Wir benötigen zum Schreiben von natürlichen Zahlen übrigens keine Vorzeichen oder Kommas oder dergleichen.
Rationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich als Bruch dargestellt werden können
Bild
Menge der natürlichen Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzen Zahlen, sowie Null. Null ist die kleinste natürliche Zahl. Man kann keine größte natürliche Zahl benennen, weil es - am positiven Zahlenstrahl - unendlich viele natürliche Zahlen mit 1 als Abstand gibt.
\({\Bbb N} = \left\{ {0,1,2,3,4...\infty } \right\} \)
Beispiele:
\(\eqalign{ & 0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in {\Bbb N} \cr & \dfrac{9}{3} = 3 \in {\Bbb N} \cr} \)
Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzzahligen Zahlen, jedoch ohne Null.
\({{\Bbb N}^*} = \left\{ {1,2,3,4...\infty } \right\}\)
Menge der geraden natürlichen Zahlen
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist die Menge der geraden nicht negativen ganzen Zahlen, zu denen auch die Null zählt, weil die geraden Zahlen durch 2 stets ohne Rest teilbar sind.
\({{\Bbb N}_g} = \left\{ {0,2,4,6..\infty } \right\}\)
Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist die Menge der ungeraden nicht negativen ganzen Zahlen.
\({{\Bbb N}_u} = \left\{ {1,3,5,7..\infty } \right\}\)
Menge der Primzahlen
Primzahlen sind jene Zahlen, die größer als 1 sind, die aber ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar sind. Primzahlen lassen sich daher durch exakt zwei Faktoren darstellen. Sie sind somit eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
\(P = \left\{ {2,3,5,7,11,13...} \right\}\)
- "1" ist keine Primzahl, weil eine Primzahl genau zwei Teiler haben muss, nämlich 1 und sich selbst. "1" hat aber nur einen Teiler, nämlich 1 und ist daher keine Primzahl.
- "2" ist die kleinste Primzahl
Der Satz von Euklid zu Primzahlen
Der „Satz von Euklid“ besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Fundamentalsatz der Arithmetik
Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass sich jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und die selbst keine Primzahl ist, als (eindeutiges) Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen darstellen lässt. Darauf basiert die Primfaktorenzerlegung. Es wurde noch keine Regelmäßigkeit gefunden, nach der Primzahlen auftreten.
Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich somit unterteilen in
- 0
- 1
- Primzahlen
- (aus 2 oder mehreren Primzahlen) zusammengesetzte Zahlen
Einige Beispiele
\(\eqalign{ & 144 = {2^4} \cdot {3^2} \cr & 145 = 5 \cdot 29 \cr & 146 = 2 \cdot 73 \cr & 147 = 3 \cdot {7^2} \cr} \)
Menge der ganzen Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen sind die um die negativen ganzen Zahlen erweiterten natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen ist gegenüber der Addition, der Multiplikation und der Subtraktion abgeschlossen.
\({\Bbb Z} = \left\{ { - \infty ,..., - 1,0,1,2,...\infty } \right\}\)
Beispiel:
\( - \root 2 \of 4 = - 2 \in {\Bbb Z}\)
- Nachfolger: Zu jeder ganzen Zahl kann man 1 dazuzählen, dann erhält man den Nachfolger, der wiederum eine ganze Zahl ist
- Vorgänger: Von jeder ganzen Zahl kann man 1 abziehen, dann erhält man den Vorgänger, der wiederum eine ganze Zahl ist
Menge der rationalen Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen sind die um die Brüche erweiterten Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Rationale Zahlen können endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben. Die Menge der rationalen Zahlen ist gegenüber der Addition und der Multiplikation sowie der Subtraktion und der Division abgeschlossen.
\({\Bbb Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\left| {p \in {\Bbb Z},q \in {{\Bbb N}^*}} \right.} \right\} \)
Beispiele:
\(\eqalign{ & \frac{\pi }{2} \notin {\Bbb Q};\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \notin {\Bbb Q} \cr & - 2,234 \in {\Bbb Q};\,\,\,\,\,2,\mathop 2\limits^ \bullet \in Q \cr} \)
Menge der irrationalen Zahlen
Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst jene Zahlen die sich aus unendlich vielen, nicht periodischen Dezimalstellen zusammensetzen. Man kann irrationale Zahlen nicht als ganzzahliger Bruch darstellen.
\({\Bbb I} = {\Bbb R}\backslash {\Bbb Q}\)
Beispiele:
\(\pi \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,e \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,\sqrt 2 \in I;\,\,\,\,\,\sqrt 4 \notin {\Bbb I}\left( { \in {\Bbb N}} \right)\)
Menge der reellen Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen sind die um die irrationalen Zahlen erweiterten rationalen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen setzt sich also aus der Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen zusammen. Die Menge der reellen Zahlen ist gegenüber allen 4 Grundrechnungsarten abgeschlossen.
\({\Bbb R} = {\Bbb Q} \cup {\Bbb I}\)
Menge der komplexen Zahlen
Die Menge der komplexen Zahlen sind die um die imaginären Zahlen erweiterten reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen erweitert den Zahlenbereich der reellen Zahlen so, dass die Gleichung x2+1=0 lösbar wird. Dazu führt man die imaginäre Einheit i als neue Zahl ein, wobei gilt i2=-1