Mit dem Sinussatz befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, wozu man den Sinussatz benötigt und liefern euch passende Beispiele. Zu dem gehen wir auf die Herleitung / den Beweis des Sinussatzes ein. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.
In der Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Die Formeln zum Sinussatz beziehen sich auf die folgende Grafik:
Sinussatz Formeln:
In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:
Häufig wird der Sinussatz auch als Verhältnisgleichung formuliert:
Beispiel:
Bekannt seien die Längen a = 5 cm, b = 4 cm und der Winkel α = 70 Grad. Der Winkel β soll berechnet werden.
Lösung: Wir entnehmen dem Text die Angaben und setzen diese in die Formel ein ( Erklärungen unterhalb ).
Wir stellen die Formel nach sin(β) um und setzen im Anschluss die Werte ein. Über den arcsin erhalten wie im Anschluss den Winkel.
Sinussatz Beweis / Herleitung
Zum Beweis des Sinussatzes benötigen wir Wissen aus dem Artikel Winkelfunktionen. Zurück zur Grafik: Die eingezeichnete Höhe hc zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke. In diesen kann man die Sinuswerte von α und β jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken (Erklärungen unterhalb):
Zunächst werden die Sinuswerte als Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse ausgedrückt. Diese werden anschließend nach der Höhe umgestellt und gleichgesetzt. Durch Umformung erhalten wir die gewohnte Schreibweise.
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Hier erfährst du, wie du mit dem Sinussatz Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen kannst.
- Der Sinussatz
- Seitenlängen berechnen
- Winkel berechnen
Der Sinussatz
Das Verhältnis der Längen zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel.
Seitenlängen berechnen
Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden gegenüberliegenden Seiten (sww) die Länge der anderen gegenüberliegenden Seite berechnen.
Dreieck ABC mit der Länge der Seite b und den Winkeln α und β
Winkel berechnen
Mit dem Sinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw) den anderen gegenüberliegenden Winkel berechnen.
Vorsicht:
Hast du den der kürzeren Seite gegenüberliegenden Winkel gegeben, gibt es zwei mögliche Winkel (und Dreiecke), die du mit dem Sinussatz berechnen kannst.
Im Dreieck ABC liegt β=56° der kürzeren Seite (10) gegenüber. Es gibt also zwei Dreiecke mit diesen Größen.
Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit folgenden Seiten- und Winkelgrößen:
$a=5,4cm$; $b=3,8cm$; $\alpha =73^{\circ }$
Berechne die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$, so wie die Seitenlänge $c$.
Winkel $ \beta $ berechnen:
Für die Berechnung des Winkels $\beta$ verwenden wir den Sinussatz:
$ \frac {a}{\sin \alpha } = \frac {b}{\sin \beta }$
jetzt den Sinussatz umstellen nach $\beta$:
$ \sin \beta = \frac {b\cdot \sin \alpha }{a} $ $= \frac {3,8cm \cdot \sin 73^{\circ}} {5,4cm} \approx 0,67$
Mit dem Arkussinus (Umkehrfunktion des Sinus) können wir den Winkel berechnen:
$ \beta \approx \arcsin(0{,}67)\approx 42^{\circ }$
Winkel $ \gamma $ berechnen:
Den Wert für $\gamma$ erhalten wir mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck (= alle Winkel ergeben 180°):
$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta \approx 180^{\circ }-73^{\circ }-42^{\circ }=65^{\circ }$
Seitenlänge $ c $ berechnen:
Die Seitenlänge $ c$ berechnen wir mit dem Sinussatz und es gilt:
$ \frac {a}{\sin \alpha } = \frac {c}{\sin \gamma } $
Durch Umformung gelangt man so zum Ergebnis:
$ c=\frac {a\cdot \sin \gamma }{\sin \alpha } $ $\approx {\frac {5,4cm \cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 73^{\circ }}} $ $\approx 5{,}1\,\mathrm {cm} $