In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der zweiten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man Ableitungen berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.
- Geometrische Interpretation
- Ist die Funktion konkav oder konvex?
- Online-Rechner
Geometrische Interpretation
Beispiel 1
Die blaue Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav ist.
Die rote Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konvex ist.
Merkspruch
Konkav ist der Buckel vom Schaf.
In einem anderen Kapitel lernst du mehr über das Krümmungsverhalten einer Funktion.
Ist die Funktion konkav oder konvex?
Beispiel 2
$$ f(x) = -x^2 $$
$$ f'(x) = -2x $$
$$ f''(x) = -2 < 0 $$
Die Funktion $f(x) = -x^2$ ist konkav. Ihre zweite Ableitung ist (immer) kleiner Null.
Beispiel 3
$$ f(x) = x^2 $$
$$ f'(x) = 2x $$
$$ f''(x) = 2 > 0 $$
Die Funktion $f(x) = x^2$ ist konvex. Ihre zweite Ableitung ist (immer) größer Null.
Sonderfall: Funktion, die konkav und konvex ist
Beispiel 4
$$ f(x) = x^3 - x^2 $$
$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$
$$ f''(x) = 6x - 2 $$
Wann ist die 2. Ableitung kleiner (bzw. größer) Null?
$$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$
Daraus folgt:
Die Funktion $f(x) = x^3-x^2$ ist für $x < \frac{1}{3}$ konkav und für $x > \frac{1}{3}$ konvex.
Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei $x = \frac{1}{3}$ eine gestrichelte Linie eingezeichnet.
Im nächsten Kapitel erfährst du, wie uns die 2. Ableitung dabei hilft, die Extremwerte (Hochpunkte und Tiefpunkte) einer Funktion zu berechnen.
Online-Rechner
Ableitungsrechner
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