Um die Nullstellen einer Funktion ff zu berechnen, muss man die xx-Werte finden, für die f(x)=0f\left(x\right)=0 wird.
Im Normalfall setzt man daher den Funktionsterm gleich Null und versucht, die sich ergebende Gleichung nach xx aufzulösen.
Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion hat die Form f(x)=m⋅x+tf\left(x\right)=m\cdot x+t.
Beispiel
Nehmen wir das Beispiel f (x)=3x−2f\left(x\right)=3x-2. Um hier die Nullstelle zu berechnen, setzen wir f(x)=0f\left(x\right)=0 und lösen nach xx auf.
f(x)\displaystyle f\left(x\right) | == | 3x−2\displaystyle 3x-2 | |
↓ | Setze den Funktionsterm gleich 0. | ||
0\displaystyle 0 | == | 3x−2\displaystyle 3x-2 | +2\displaystyle +2 |
↓ | Löse die Gleichung nach x auf. | ||
2\displaystyle 2 | == | 3x\displaystyle 3x | :3\displaystyle :3 |
x\displaystyle x | == | 23\displaystyle \frac{2}{3} |
⇒\;\;\Rightarrow\;\; Nullstelle bei x=23x=\frac{2}{3}
Allgemeine Berechnung
Setzen wir die allgemeine Form f(x)=m⋅x+tf\left(x\right)=m\cdot x+t gleich 00, so erhalten wir:
mx+t\displaystyle mx+t | == | 0\displaystyle 0 | −t\displaystyle -t |
↓ | Löse die Gleichung nach x auf. | ||
mx\displaystyle mx | == | −t\displaystyle -t | :m\displaystyle :m |
↓ | Dies geht nur, wenn m≠0m \neq 0. | ||
x\displaystyle x | == | −tm\displaystyle -\frac{t}{m} |
⇒\;\;\Rightarrow\;\; Nullstelle bei x=−tmx=-\frac{t}{m}
Allgemeines Beispiel
Berechnung der Nullstelle(n) von f(x)=1x−1+1 f(x)=\frac1{x-1}+1 durch Nullsetzen und Auflösen.
f(x)\displaystyle f\left(x\right) | == | 1x−1+1\displaystyle \frac{1}{x-1}+1 | |
↓ | Setze den Funktionsterm gleich 0. | ||
0\displaystyle 0 | == | 1x−1+1\displaystyle \frac{1}{x-1}+1 | −1\displaystyle -1 |
↓ | Löse die Gleichung nach x auf. | ||
−1\displaystyle -1 | == | 1x−1\displaystyle \frac{1}{x-1} | ⋅(x−1)\displaystyle \cdot\left(x-1\right) |
↓ | Hier kannst du mit (x−1)(x-1) multiplizieren, da 1∉Df 1 \notin D_f und somit (x−1)≠0(x-1) \neq 0 ist. | ||
−1⋅(x−1)\displaystyle -1\cdot\left(x-1\right) | == | 1\displaystyle 1 | |
↓ | Multipliziere aus. | ||
−x+1\displaystyle -x+1 | == | 1\displaystyle 1 | −1\displaystyle -1 |
−x\displaystyle -x | == | 0\displaystyle 0 | ⋅(−1)\displaystyle \cdot\left(-1\right) |
x\displaystyle x | == | 0\displaystyle 0 |
⇒\;\;\Rightarrow\;\; Nullstelle bei x=0x=0
Weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstelle
Nullstellen durch Probieren herausfinden
Gerade bei Polynomgleichungen mit ganzzahligen Parametern kann es sich manchmal lohnen, niedrige ganzzahlige Werte einfach einzusetzen und zu berechnen, ob Null herauskommt. Um Schülern das Suchen zu erleichtern, wählen Aufgabensteller häufig Nullstellen zwischen -3 und 3.
Höhere Polynome
Für höhere Polynome existieren keine geläufigen Lösungsformeln. Sind jedoch (z.B. durch Raten) schon Nullstellen bekannt, kann das Polynom durch Polynomdivision vereinfacht werden, sodass man weitere Nullstellen leichter (z.B. mit der Mitternachtsformel) berechnen kann.
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