Umfang eines Dreiecks berechnen
Der Umfang des Dreiecks lässt sich sehr einfach berechnen. Er ist die Summe aller Seitenlängen. Es gilt also:
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$U = a+ b + c$.
Um den Umfang eines Dreiecks berechnen zu können, müssen alle drei Seitenlängen bekannt sein. Genauso kann es sein, dass der Umfang und zwei Seitenlängen gegeben sind und du die fehlende Seitenlänge berechnen musst. Dazu musst du die Formel umstellen.
Beispiel
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Wir groß ist der Umfang?
$U = a+ b + c$
Beispiel
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Wie groß ist $a$?
$a = U - b - c$
Beispiel
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Wie groß ist $b$?
$b = U - a - c$
Beispiel
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Wie groß ist $c$?
$c = U - a - b$
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen
Um den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen zu können, benötigen wir eine weitere Größe: die Höhe. Die Höhe eines Dreiecks ist ein Lot, das von einem Punkt auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dementsprechend existieren in einem Dreieck drei unterschiedliche Höhen. Für den Flächeninhalt benötigen wir aber nur eine; in unserem Beispiel die Höhe auf die Seite $c$ ($h_c$).
Dreieck mit Höhe
Durch das Einzeichnen der Höhe teilen wir das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Diese Dreiecke werden nun an ihren längsten Seiten mit einem kongruenten Dreieck ergänzt, das so gedreht wird, dass sich ein Rechteck bildet.
Erweiterung des Dreiecks zum Rechteck
Das Ergänzen der Dreiecke musst du zum Glück nicht jedes Mal aufs Neue machen, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen. Wir erhalten nämlich eine Formel, mit deren Hilfe wir den Flächeninhalt in Zukunft ganz einfach berechnen können. Betrachten wir die geometrische Figur als Ganzes, erhalten wir ein Rechteck mit den Seitenlängen $c$ und $h_c$. Ganz allgemein bezeichnet man $h_c$ als Höhe und $c$ als die Grundseite. Um den Flächeninhalt des Rechtecks zu berechnen, müssen wir die Seitenlängen multiplizieren.
$A_{Rechteck} = g \cdot h =$ Grundseite $\cdot$ Höhe
Diese Formel können wir für unser Dreieck aber nicht einfach übernehmen, da wir uns ja Flächen dazu gedacht haben, um ein Rechteck zu bilden. Wir müssen den Flächeninhalt des Rechtecks noch durch $2$ teilen, um auf den Flächeninhalt des Dreiecks zu kommen.
$A_{Dreieck} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
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Berechnung des Flächeninhalts:
$A_{Dreieck} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Beispiel
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Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Höhe $5~cm$ und der Seitenlänge $c = 3cm$?
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 5~cm \cdot 3~cm = 7,5cm^2$
Nun kennst du die Dreieck-Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt und kannst Berechnungen an einem Dreieck durchführen. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Dreieck berechnen online mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Aufgabe 1
Die Punkte A(2|2|3), B(2|2|6) und C(2|5|3) bilden ein Dreieck.
- Ist das Dreieck gleichschenklig?
- Ist das Dreieck rechtwinklig?
- Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösungen
- Ergebnis: Die Seiten AB und AC
haben die gleiche Länge, folglich ist das Dreieck ABC gleichschenklig.
- Wir haben zu prüfen, ob das Skalarprodukt ist.
Es folgtErgebnis: Das Dreieck ist bei A rechtwinklig.
- Ergebnis: Die Fläche des Dreiecks beträgt 4,5 LE2.
Aufgabe 2
Die Punkte A(3|1|4), B(-1|1|7) und C(6|x|8) bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie x so, dass das Dreieck mit gleichschenklig ist.
Lösung
Die Seiten AB und AC sollen gleich lang sein. Daher bestimmen wir zunächst die jeweiligen Vektoren und deren Länge:
Gleichsetzen der beiden Längen liefert eine Gleichung, die wir nach x auflösen können: | quadrieren
(x-1)2+25=25 |-25
(x-1)2=0
Nun erkennt man sofort mit x=1 die Lösung.
Ergebnis: Der Punkt C(6|1|8) macht die Punkte A, B und C zu einem gleichschenkligen Dreieck.
Pflichtteil 2015 - Aufgabe 6
Gegeben sind die drei Punkte A(4|0|4), B(0|4|4), C(6|6|2).
- a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
- b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem
Parallelogramm ergänzt.
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.(5 VP)
Lösung
a) Behauptung: Das Dreieck ABC ist gleichschenklig
Es gilt also und
.
Folglich ist und das Dreieck ABC wie behauptet gleichschenklig.
b) Parallelogramm
Wie die nebenstehende Skizze
zeigt, gibt es drei Punkte, D1, D2 und D3, durch die das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt werden kann.
Mit der Gleichung lässt sich z.B. D1 bestimmen und es gilt:
Ergebnis: Einer der Punkte, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt ist D1(2|10|2).Analog erhält man die beiden anderen möglichen Punkte: D2(-2|-2|6) und D3(10|2|2).
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